誰來幫我解鴿籠原理！！＜２０點＞

Question

１.
有９個數學家在一場國際會議上相遇，已知他們任何三位中至少２人會講同一種語言，且每一位數學家最多能講三種語言，試證：必至少有三個數學家能講同一種語言。

２.
在一個邊長為１的正方形中任意找９個點，試證：以此９個點中任意三點為頂點所構成的三角形，必有一個三角形的面積不大於1/8

３.
若干小球放入２２個盒中，已知每盒最多可放６個球，試證：至少有四盒裡的球一樣多。

４.
一工廠生產之碗的重量，只能控制在所指定的ｇ克到（ｇ＋０.１）克之間。若現在需要兩個重量相差不超過０.００５克的碗，則至少應製造出幾個碗才能達成所求？



拜託數學高手了！！！：）

Answer 1

1.(反證法)
設沒有任何3人同語言,則任3人中必恰有2人同語言
設9人為ABCDEFGHI,
ABC三人中,AB語言相同,而AB與CDEFGHI不同,
(否則就有3人同語言)則
ACD三人中AC,AD不同語言=>CD語言相同 --(A)
ACE三人中AC,AE不同語言=>CE語言相同 --(B)
由(A),(B)知CDE三人語言相,與假設不合
由反證法故得證

2.(反證法)
設每個三角形面積均>1/8
9個中,由一頂點為起點連接其他8個頂點得8個線段,
相鄰兩線段3頂點可一個三角形(均不重疊且都在正方形內部),則
8個三角形面積和>8*(1/8) --(A)
又8個三角形均不重疊且在正方形(面積1)內部 --(B)
(A),(B)相矛盾,
由反證法,故得證

3.
每盒內球數必為0,1,2,..6(共7種),
現有22盒,盒內球數均為0,1,..6,七種之一
由鴿籠原理知:至少有1種球數出現4次以上,即至少有4盒球數相同

4.
0.1克間距,均分為0.005克,共得20格,故只要有21個數字填入,必有
兩數在同一格(鴿籠原理),
故Ans:21(含)個以上的碗才能保證至少兩個碗重量<=0.005克

2007-12-06 15:19:54 補充：
1.另解(謝謝Belmont之意見)
(1)9人最多27種語言
(2)9人中任意3人且含A之可能情形有C(8,2)=28種可能
將每一組共同的語言一一列出(每一語言2人)
由鴿籠原理知:最少有一種語有2組人共用(例:BC, BD或BC,DE)
而2組人最少有3個不同人次,故此3人必共同使用同一語言
(例:BC,BD共同一個語言=>BCD3人)

Answer 2

菩提的第一題證明有點問題，似乎沒有把每位數學家都會1至3種語言這件事實考慮進去。AB會同一種語言（英文），並不代表AC不會同一種語言（法文）。

這題有點難度，我的證明方式很無趣，幾乎就是列舉法，然後反證。期待看到漂亮的證明。

2007-12-06 17:19:06 補充：
還是有點疑惑。

分組然後列出共用語言的二人是個好主意，但是ABC與ABD這兩組中，共用語言的兩人未必是BC和BD，也有可能兩組都是AB，此時28組語言被刪去一組，已經不違反鴿籠原理，然而還是沒有辦法（直接）證明有三人以上使用同一種語言。至少結論不是那麼trivial。