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Question

1.設f(x)為一個整係數n次多項式,a,b為兩個不同的整數,試證明:a-b│f(a)-f(b)。
2.設f(x)為整係數多項式,求證:不存在三個不同的整數a,b,c,使得f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a。
3.西元前336年時,歐幾里得造了一個整數係多項式,說"我現在的年齡剛好是這個多項式的一根。",旁人為了想知道歐幾里得的年齡,於是將7及一個比7大的整數代入此多項式,結果得到77及85。這時歐幾里得笑著說"我的年齡有你代的數那麼小嗎？"求歐幾里得出生的年份？

Answer 1

1. 設F(x)=f(x)-f(b),則
(1)F(x)為整係數n次多項式
(2)F(b)=f(b)-f(b)=0,則(因式定理)F(x)含因式x-b
又F(x)除以x-b所得之商亦為整係數多項式,
即F(x)=f(x)-f(b)=(x-b)*Q(x), 其中Q(x)為整係數n-1次多項式
x=a代入,則f(a)-f(b)=(a-b)*Q(a), Q(a)為整數
故(a-b) | [f(a)-f(b)]

2. 續第1題,
不失一般性可設a>b>c,且滿足已知條件f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a,則
(a-c) | [f(a)-f(c)]=> (a-c) | -(a-b) 即 a-b為 a-c的整數倍數
而a-b, a-c均為正整數,又a-c>a-b (因a>b>c), 不可能a-b為a-c的倍數
由反證法,故得證

3. 續第1題
設旁人代另一整數為a, (a>7), 歐幾里得年齡t歲,則
f(7)=77, f(a)=85, f(t)=0
由第1題知
(a-7) | (85-77) => a-7=1, 2, 4, 8 =>a=8, 9, 11, 15 (A式)
(t-7) | (0-77) => t-7=1, 7, 11, 77=>t=8, 14, 18, 84 (B式)
(t-a) | (0-85) => t-a=1, 5, 17, 85=>t=a+1, a+5, a+17, a+85 (C式)
由(C式)與(A式),則
t=9, 10, 12, 16, 13, 14, 16, 20, 25, 26, 28, 32, 93, 94, 96, 100
與(B式)比較知t=14
即歐幾里得為14歲,
故歐幾里得出生時為西元前336+14=350年

Answer 2

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Answer 3

1.令f(x)=An*X的n次方+An-1*X的n-1次方+...+A1*X+A0
其中A為係數
以a和b代入，得f(a)=An*a的n次方+An-1*a的n-1次方+...+A1*a+A0
f(b)=An*b的n次方+An-1*b的n-1次方+...+A1*b+A0
相減得:An*(a的n次方-b的n次方)+An-1*(a的n-1次方-b的n-1次方)+...+A1*(a-b)
因為a-b│a的n次方-b的n次方(n屬於Z)
所以a-b│f(a)-f(b)

2.(利用反證法)
若f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a，則由第一題可知
a-b│f(a)-f(b)=b-c
a-c│f(a)-f(c)=b-a
b-c│f(b)-f(c)=c-a
即a-b│b-c│c-a│a-b，故可知a-b=c-a，同理b-c=a-b a-c=a-b
a-b=a-c，及b=c，和原設a b c為相異整數矛盾，故得證

3.設代的另一數為y
令f(x)=(x-7)(x-y)M(x)+a(x-7)+77
則f(y)=a(y-7)=85-77=8
因為y>7，所以y=8 a=8
f(x)=(x-7)(x-8)M(x)+8x+21