方程式可否微分問題

Question

問題如下：

s = -∫sgn(s) dt ---- (1)


｛1, s>0
其中，sgn(s) = ｛0, s=0
｛-1, s<0


對方程式(1)兩邊微分，可得

·
s = -sgn(s) ---- (2)


想請問各位：

可否對方程式(1)執行微分動作，得到方程式(2)？

謝謝各位的回答。

s is a time function.

to:煩惱即是菩提
我的問題並不是要求得方程式(1)的積分結果，重點在於：方程式(1)可不可以對兩邊同時作微分動作。

其中，
sgn(s) =
｛1, s>0
｛0, s=0
｛-1, s<0

.
s = -sgn(s) ---- (2)

方程式(2)等號左手邊為 s 的一次微分，右手邊則為文中定義的sgn(s)乘上負號

Answer 1

一.題目有問題
(1)∫sgn(s) dt 對t求積分? 應該是-∫sgn(s) ds 吧!
(2)s = -∫sgn(s) ds? 應該是f(s)=-∫sgn(s) ds吧!

二.不定積分即反導函數的通式
因此 f(s)=-∫sgn(s) ds=? 即問什麼樣函數f(s)的導函數為 -sgn(s)?
基本上是沒有!
勉強點-|s|+c算是答案,但在s=0處不可微分

三.不定積分乃是定積分計算的先前動作
而且先積分再求導函數,即想用d/ds[∫f(s) ds]= f(s)
但此性質原型為d/ds [∫(t=a->s) f(t) dt ]=f(s),是微積分基本定理
而微積分基本定理是有先決條件的:在函數f連續處,則成立
本題函數 sgn(s)在s=0處不連續,則基本定理並不保證成立

即d/ds [-∫(t=a->s)sgn(t) dt ]=-sgn(s)在s≠0時就成立

故原題函數是不是到處可微的!

2007-12-04 13:41:42 補充：
修改最後一句話:
故原題積分不能到處可微分!

2007-12-04 14:00:47 補充：
函數f(s)= -∫sgn(s) ds的原型是f(s)=-∫(t=0->s)sgn(t) dt
由微積分基本定理:f'(s)=-sgn(s), s≠0
s=0時由定義則應討論lim(h->0) [f(h)-f(0)]/h=lim(h->0) f(h)/h
=lim(h->0)[-∫(t=0->h)sgn(t) dt]/h
(左右lim)
lim(h->0+)[-∫(t=0->h)sgn(t) dt]/h = lim(h->0+)-h/h=-1
lim(h->0-)[-∫(t=0->h)sgn(t) dt]/h = lim(h->0-) h/h=1
左右lim不相同,故s=0時f(s)不可微分