求99979998...9999899999除以271的餘數

Question

有一個九萬零十二位數9997999899991000010001.....999979999899999，
求此數除以271的餘數。

請敘明您所用的數學原理。

真是的，多寫多錯，這是一個四十五萬零十二位數，有點大。

為何有這些問題啊!?

因為我活在這個世界上。

Answer 1

1,00000 = 271*369 + 1≡1 (mod 271)
1,00000,00000 = (1,00000)^2 ≡1 (mod 271)
1,00000,00000,00000 = (1,00000)^3 ≡1 (mod 271)
……
99979998999910000100 01.....999979999899999
= (99,00000,00000,…,00000 + 97999,00000,00000,…,00000 + 89999,00000,00000,…,00000) + (10000,00000,00000,…,00000 + 10001,00000,00000,…,00000 + … + 99998,00000,00000,…,00000 + 99999,00000,00000,…,00000)
≡(99 + 97999 + 89999) + (10000 + 10001 + … + 99999) (mod 271)
≡[(100 - 1) + (98000 - 1) + (90000 - 1)] + 90000*(10000 + 99999)/2 (mod 271)
≡1,88100 - 3 + 45000*1,09999 (mod 271)
≡(88100 + 1) - 3 + 45000*(9999 + 1) (mod 271)
≡88100 - 2 + 4500,00000 (mod 271)
≡88100 - 2 + 4500 (mod 271)
≡187 (mod 271)

Answer 2

90012位嗎?

2007-12-04 00:02:53 補充：
10^5≣1 (mod 271)
999799989999≡23 (mod 271)
99999+99998+...+10000=109999*45000≣164 (mod 271)
99999+99998*10^5+...+10000*10^89995+999799989999*10^90000≡164+23 (mod 271)

Ans: 187

註:為何有這些問題啊!?