求101102103....298299300除以37的餘數

Question

有一個六百位數101102103104105106.....295296297298299300，
求此數除以37的餘數。

請敘明您所用的數學原理。

Answer 1

37*3 = 111
37*3*9 = 999
1,000 = 999 + 1 ≡1(mod37)
1,000,000 = (1,000)^2 ≡1(mod37)
1,000,000,000 = (1,000)^3 ≡1(mod37)
……
101102103104105106.....295296297298299300
= 101,000,000,…,000 + 102,000,000,…,000 + … + 299,000 + 300
≡101 + 102 + … + 299 +300(mod37)
≡27 + 28 + … + 36 + (0 + 1 + 2 + … + 36) + (0 + 1 + 2 + … + 36) + … + (0 + 1 + 2 + … + 36) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4(mod37)
≡27 + 28 + … + 32 + (33 + 4) + (34 + 3) + (35 + 2) + (36 + 1)(mod37)
≡27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 (mod37)
≡177 (mod37)
≡29 (mod37)

故此數除以37的餘數為29。


2007-12-03 22:55:16 補充：
中間也可用等差級數公式
101 + 102 + 103 + … + 300 = 200(101+300)/2 = 40,100
≡40 + 100 (mod 37)
≡3 + 26 (mod 37)
≡29 (mod 37)

2007-12-03 22:57:21 補充：
0 + 1 + 2 + … + 36
= (1+36) + (2+35) + (3+34) + … + (18+19)
≡0 (mod 37)

Answer 2

知識+應該是給真的尋求答案的人發表的園地,而不是問對一般人而言很艱深的問題,然後來批評好心回答者的地方吧= =感覺開板的口氣很奇怪,何況開板的原來就知道答案了

Answer 3

101+102+...+300=40100 (mod 37)？？？
似乎是101+102+...+300≣40100 (mod 37)才對

a=a，但a≣a(mod m)，因為這是同餘式。

Answer 4

1000≣1 (mod 37)
101+102+...+300=40100≣29 (mod 37)

2007-12-04 10:20:34 補充：
有人寫
101+102+...+300=40100 (mod 37)
嗎?

101+102+...+300=40100≣29 (mod 37)
只是縮寫而已呀!

Answer 5

首先
尋找37和10的n次方之間的關係(以下以^n表n次方.*表乘績)
10除以37餘10
10^2除以37餘26
10^3除以37餘01
10^4除以37餘10.....
餘數將以10.26.01不停循環
而當n被3整除時皆餘01
原六位數=101*10^597+102*10^594+103*10^591+...+299*10^3+300
同餘(三條線)101+102+103+104+...+299+300(mod37)
=60150
60150除以37餘25