三個平面方程式解聯立有哪些情況?

Question

請問:
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3

會有下面情況:
一.
Δ=0時
1.Δx,Δy,Δz其中之一或是全部等於0時,會有無限多組解?
2.否則無解?
二.
Δ不等於0時
1.有兩個平面是平行,這有三種可能,會是無解?
要如何區分?
2.三個平面相互交於不同的三條直線,這也是無解?
要如何區分?
3.三個平面剛好相交於一點上,也就是剛好有一解!

Answer 1

a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
則必
Δ*x=Δx
Δ*y=Δy
Δ*z=Δz

故
1.Δ≠0時,必定恰有一解,此時三平面交於一點

2.Δ=0時

(1).Δx,Δy,Δz其中之一不為0,則無解

(a)若三平面均不平行,則三平面兩兩交於一直線,三直線平行無交點
(三平面圍成三角柱狀)

(b)若有二平面平行,則必二平行,一不平行(有如"≠")

(2).Δx,Δy,Δz均為0,則無限解或無解
無解<=>三平面互相平行,但無共同交點
無限解<=>
(有平面平行者)三平面重合或二重合,另一不平行(交於一直線)
(無平面平行者)三平面共線

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

我換個方式回答

當Δ不等於0，則恰一組解（3平面交於1點）

當Δ=0時，再看Δx,Δy,Δz
若其中有一不為零，則無解（2平行、3平面交平行3線）
若Δx,Δy,Δz都為0，則有可能無解（3平行、2重和1平行），也有可能無限解（2重和1相交、3重和、3面交於1線）

以上為3平面之8種相交狀況

有問題再來，以上。