數學問題。。。機率的

Question

Ａ　Ｂ　Ｃ三人擲骰為戲，共用三個骰子，

先擲１０點者為勝，設Ａ　Ｂ　Ｃ　三人順序輪擲

則

（Ａ）Ａ獲勝機率為６４／１６９
（Ｂ）Ｂ與Ｃ獲勝之機率為８比７
（Ｃ）Ａ與Ｂ獲勝之機率為８比７
（Ｄ）Ｃ獲勝之機率為４９／１４９

感謝你們
但是
我有個疑問是
為啥要排序
骰子要排序丫
輪流擲
不都擲同一個骰子嗎
很難懂耶
我想說不用排序

Answer 1

(1)先求擲一次成功的機率
樣本空間:擲3粒骰子最多6³=216種
事件:x+y+z=10的可能性有27種(如下法一,法二)
和為10點的機率p=27/216=1/8, 不成功的機率=1-1/8=7/8
(法一)一一列出
6,3,1=>排列得3!=6種
6,2,2=>3種
5,4,1=>6種
5,3,2=>6種
4,4,2=>3種
4,3,3=>3種
(法二)H(n,k)
1+x'+1+y'+1+z'=10 (x=1+x',則x'=0~5, y', z'同理)
x'+y'+z'=8=>有H(3,8)-C(3,1)*H(3,2)=27種


(2)
A勝的case
第一回合+第二回合+第三回合+...
=A+A'B'C'A+A'B'C'A'B'C'A+...
=1/8+(7/8)³*1/8+... (等比級數,公比r=(7/8)³=343/512)
=64/169 (等比和=a/(1-r))

B勝的case
=A'B+A'B'C'A'B+...
=(7/8)*(1/8)+(7/8)^4*(1/8)+... (比A勝的CASE多7/8倍)
=(7/8)*(64/169)=56/169

C勝的case
=B*7/8=49/169

故(A),(B),(C),(D)四選項均是對的

2007-12-04 23:15:51 補充：
1.若不排序,則6,3,1出現的可能性與6,2,2出現的可能性視為相同,
這樣是不合理的
2.求機率時,樣本空間每一元素(單一事件)的機率必須相同,
這是機本條件,否則P(A)=n(A)/n(S)就不合理了

2007-12-04 23:16:57 補充：
況且6*6*6本身就有排序,不是嗎?

Answer 2

擲三個骰子共有 216種可能
其中 十點的可能有 H ( 3 , 7 ) - C ( 3 , 1)* C ( 2 , 1 ) - C ( 3, 1 )
= 36 - 9 = 27
此獲勝簽扯到無窮的概念
所以A 獲勝的機率就是
( 1 / 8 ) + ( 7 / 8 )^3 * ( 1 / 8 ) + ....
= ( 1 / 8 ) / [ 1 - ( 7 / 8 )^3 ]
= ( 1 / 8 ) / ( 169 / 512 ) = 64 / 169
同理 B 獲勝機率是
( 7 / 8 ) * ( 1 / 8 ) + ( 7 / 8 )^4 * ( 1 / 8 ) + ...
= ( 7 / 8 ) * ( 1 / 8 ) / [ 1 - ( 7 / 8 )^3 ]
= 7 * 8 / 169 = 56 / 169
C 獲勝機率是 ( 7 / 8 ) * ( 7 / 8 ) * ( 1 / 8 ) / [ 1 - ( 7 / 8 )^3 ]
= 7 * 7 / 169 = 49 / 169
=> B 跟 C 得獲勝機率比是 8 : 7
A 跟 B 得獲勝機率比也是 8 : 7


2007-12-03 15:58:06 補充：
計算十點有幾種上面我用重複排列的觀念 也可以直接算

( 1 , 4 , 5 ) ( 1 ,3 , 6 ) ( 2 , 2 , 6 ) ( 2 , 3 , 5 ) ( 2, 4 , 4 ) ( 3 , 3 , 4 )

=> 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27