數據分析與標準差的有效位數（20點）

Question

如果有5個測量數據，用尺測量量一個棒子
8.21
8.20
8.22
8.21
8.22 （cm）共三位有效數字

平均值＝8.212取三位有效→8.21

1.計算標準差時裡面所用到的平均值應該要用8.212還是8.21

2.表示成測量值時（平均值＋平均值的標準差）所用的平均值是8.212還是8.21

3.標準差的位數如何取（見4.）

4.表示成測量值時（平均值＋平均值的標準差）所用的『平均值的標準』有效位數如何取，是哪一種，還是別的
8.212＋0.XXX （X不一定為有效位數，例如0.012）
8.21＋0.XX （X不一定為有效位數，例如0.02）
8.212＋平均值的標準差（平均值的標準差取三位有效，例如0.00526）
8.21平均值的標準差（平均值的標準差取三位有效，例如0.00526）

希望大家能給予我解答 謝謝

請問 bdref43 有幾個地方不太了解，真的很感謝

3. 『標準差的第一位已經是估計值，數字跨過一個10的倍數時標準差可用到兩位有效數字』，是因為平均值8.21的1是不準確位，所以產生的標準差第一位有效數字就是估計值，那麼什麼叫做跨過10的倍數標準差可以取兩位，又是為什麼呢？

4.也就是說標準差的最後一位是要對齊8.21的最後一個位數嗎？那麼如果說在數據分析當中處理標準差（例如是0.00562）是要
A.平均值的標準差＝0.00562再寫測量值＝8.21+-0.01
B.平均值的標準差＝0.01 再寫測量值＝8.21+-0.01

5.如果說平均值的標準差＝0.0005 平均值8.212
那麼測量值＝8.21+-0.00嗎？

9.8乘以1.28=12.544（2位乘3位有效）
取2位後變成13顯然不太合理
看資料說可以用標準差來判別是什麼意思

問題很多真的很感謝

你的回答真的非常棒
解決了我超多的問題
超級感恩

還想請問最後一個問題

A.平均值的標準差＝0.00562再寫測量值＝8.21+-0.01
B.平均值的標準差＝0.01 再寫測量值＝8.21+-0.01

就是說要先算出來再寫有效位數，還是算出的結果直接取有效位數

那麼如果是乘一個常數

例如 1.0*拍＝3.1415926......
是要在這個地方就取有效位數（＝3.1）
還是到了最後再處理拍（以3.1415926....繼續進行運算）

Answer 1

1. 標準差本就是測量值精度的一個估計,因此平均值必須使用有效數字,用8.21
2. 同理,用8.21
3. 同理,標準差的第一位數已經是估計值了,它以後的數字根本無意義,因此標準差的有效數字位數是1,如果用科學記號(x*10的次方)表示且數字跨過一個10的倍數時標準差可用到兩位有效數字.
4. (在標準差之前的+號代表正負)
8.212+0.012, 0.012的標準差只能保留一位,且其數位必須與平均值同,所以必須以8.21+0.01表示.
8.21+0.02是正確的表示法.
8.212+0.00526必須以8.21+0.01表示,標準差只能有一位有效數字. 如平均值的有效數字是到小數點以後第3位,則必須以8.212+0.005表示.
8.21+0.00526必須以8.21+0.01表示,標準差只能有一位有效數字.


2007-12-02 08:43:18 補充：
3. 那是以指數表示時用的,標準差的數字必須是11到19, 如 (3.195+/-0.012)*10^3, 如果只用一位就變成(3.20+/-0.01)*10^3,則原來小數後第二位的精度(3.19X的9是精確值)就被犧牲了.
4. 是的.
5. 8.212如果只有0.0005的標準差,那至少8.21X是精確的,應寫成8.212+/-0.001,如果標準差真是那麼小,由於必須大於0,應寫成8.21+/-0.01
6. 乘算時如牽涉到進位,取有效數字要注意.純粹取位數有時會出錯.

2007-12-02 09:01:42 補充：
有效數字的定義是凡是與估計值運算過的都變成估計值.
9.8*1.28中兩個8是估計值,所以0.8*1.28=1.024的部分(牽涉到進位)應該只有.024是估計值,9*1.28=11.52(也牽涉到進位)只有.52是估計值,加起來後12.544中5以後是估計值,所以應該是3為有效數字.再舉一例: 0.472*2.1=0.9912,取兩位是0.99, 0.472*2.2=1.0384,若取兩位變成1.0,就犧牲了小數點後第一位的精度,因基本上兩個乘算的精度是一樣的,所以必須取1.04.如果真沒辦法,則標準差必須保留原有的精度.

2007-12-03 00:32:22 補充：
由於計算時可能有的變化(如上面說的進位問題),要算出來以後再取有效數字.
常數不管有幾位,永遠是精確值,不計算在有效數字內.