微積分的證明

Question

請問
show that the function g(x)=x*|x| has an inflection point at (0,0) but g''(x) does not exist.

麻煩請詳述g'(x)及g''(x)的過程
謝謝

煩惱即是菩提
可否請教一下
可以直接對g(x)=x*|x|微分嗎?

請問
|x|=√(x^2)
可以用類似的方式微分嗎?

Answer 1

有絕對值符號在函數中
要做微分時一定要先破除絕對值符號
答案我PO在下面的網址裡
你進去看看
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=jiunyan0309&b=6&f=1443722809&p=47

希望對你有所幫助

Answer 2

事實上可以用你的想法|x|=√(x^2)去微分,但微分完還是要分段討論才能確定轉折點是否有問題

g(x)=x*|x|=x√(x^2)

g'(x)=√(x^2)+x^2/√(x^2)=2√(x^2)=2|x|
g'(0-)=0,g'(0+)=0,g'(0)=0存在

g''(x)=2x/√(x^2)=2sign(x), sign(x<0)=-1, sign(x>0)=1, sign(0)=0
g''(0-)=-2, g''(0+)=2, g''(0)不存在

Answer 3

1.
x>=0時,曲線為y=x²,圖形為凹向上的拋物線
x<=0時,曲線為y=-x²,圖形為凹向下的拋物線
兩曲線銜接點為(0,0),右邊凹向上,左邊凹向下,
故(0,0)為inflection point

2.g'(x)=?
x>0時g(x)=x², g'(x)=2x
x=0時g'(0)=lim(x->0) [g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x->0) |x|=0
x<0時g(x)=-x²,g'(x)=-2x

3.g"(0)是否存在?
lim(x->0) [g'(x)-g'(0)]/(x-0)=lim(x->0) g'(x)/x
而g'(x)在x=0之左右側,有不同結果,應分左右極限探討之
lim(x->0+) g'(x)/x=lim(x->0+) 2x/x=2
lim(x->0-) g'(x)/x=lim(x->0-) -2x/x=-2
左右極限不同
so, lim(x->0) [g'(x)-g'(0)]/(x-0)=lim(x->0) g'(x)/x不存在
即g"(0)不存在

註:本題有兩要點,
(1)導函數的定義,尤其2階導數的定義
(2)反曲點處不一定二階導函數為0

2007-12-02 20:53:39 補充：
絶對值函數|f(x)|,在f(x)=0處經常是不可微分的,
因此分段討論(去除絶對值)是保險且正確的作法

2007-12-06 15:53:11 補充：
d/dx(x*|x|)
=d/dx[x*√(x²)]
=√(x²)+x²/√(x²)
在x=0處不能使用,故g'(0)還是得另外依定義lim(x->0) [g(x)-g(0)]/(x-0)求之,否則討論g"(0)時,lim(x->0) [g'(x)-g'(0)]/(x-0),
g'(0)就不知為何了!

OK!?