有關高微的導數問題 有關高微的導數問題

Question

Let f(x) = 0 for x <= 0 ,

and f(x) = 1 - cos x for x >= 0 .

Is f differentiable at x = 0 ?

豪哥你第六行到第七行三角函數變換我看不太懂

菩提你第五行到第六行記算是不是有錯誤?

菩提你的

lim(x->0+) (sinx/x)*(sinx/(1-cosx))=1*0=0

其中 lim(x->0+) (sinx/(1-cosx)=0 是怎麼算的?

複製錯誤!

應該是 lim(x->0+) (sinx/(1+cosx)=0

Answer 1

f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x->0)f(x)/x
When x<=0,lim(x->0-)f(x)/x
=lim(x->0-)0/x=0
When x>=0,lim(x->0+)f(x)/x
=lim(x->0+)(1-cosx)/x
=lim(x->0+)sinx
=0
so f is differentiable at x=0
and f'(0)=0

2007-12-01 23:33:39 補充：
有錯要告訴

2007-12-02 22:20:29 補充：
喔!第六到第七行是使用洛必達法則

不定型0/0上下微

Answer 2

x=0處是否可微分,定義是
lim(x->0) (f(x)-f(0))/x 是否存在?
而本題f(x)在x=0附近分開定義,故須考慮one-sided lim
lim(x->0+) (f(x)-f(0))/x
=lim(x->0+) (1-cosx-0)/x
=lim(x->0+) sin²x/(x(1-cosx))
=lim(x->0+) (sinx/x)*(sinx/(1-cosx))=1*0=0
又
lim(x->0-) (f(x)-f(0))/x
=lim(x->0-) 0/x=0
即lim(x->0) (f(x)-f(0))/x存在
故f(x)在x=0處可微分

2007-12-03 00:05:29 補充：
Sorry!
第5行到第6行是同乘1+cosx
故第6行應是lim(x->0) sin²x/(x(1+cosx))
=lim(x->0+) (sinx/x)*(sinx/(1+cosx))=1*0=0

謝謝你的仔細檢查!