數學歸納法2題

Question

這兩題是我參加某某(忘記名稱)課程時老師留下的題目

1.設一嚴格遞增函數 f 對一切自然數 n有定義，且滿足<1> f(n)為整

數 <2> f(2)=2 <3>當m、n皆屬於自然數，有 f(mn) = f(m)f(n)。證

明:對一切自然數 n ，都有 f(n) = n


2.設 Ａn=3^3^3^3.............(共n+1個3)，Ｂn=8^8^8.....................(共n個

8)，證明Ａn＞Ｂn (n為自然數)


話說我才高一...段考英文不及格，國文也差點不及格，所以不要寫得太深奧...........以免我看不懂= =

發意見的...你會錯意了
不是3的N+1次>8的N次
是3的3次的3次的3次........大於8的8次的8次的8次........
3有n+1個，8有n個

如n=1時
3^3>8
n=2時
3^3^3=27^3>8^2
以此類推

8^2改成8^8...有點打錯了..

感謝菩提兄提醒...
改成3^3^3=3^27>8^8

Answer 1

1.
(1)f(1*1)=f(1)*f(1),故f(1)=0或1
若f(1)=0,則f(1*2)=f(1)*f(2)=0(不合),故f(1)=1
(2)f(n)=n, for n=1,2,...,2^(k)均成立,則
(a)f(2^(k+1))=f(2)*f(2^k)=2*2^k=2^(k+1),故n=2^(k+1)亦成立
(b)當n=(2^k)+1~2^(k+1)時(共2^k項)
又f為嚴格遞增數列,故亦有2^k項,
且2^k 故f(n)=n, for n=(2^k)+1~2^(k+1)時亦成立
由數學歸納法,故得證

2.(暫時改為An>Bn*2>Bn)
(1)n=1時,成立
(2)設Ak>Bk*2>Bk成立,則
n=k+1時
A(k+1)=3^Ak>3^(2*Bk)=9^Bk>8^Bk=B(k+1),成立
由數學歸納法,故得證An>Bn (2倍擦掉了)

註:很難喔!

2007-12-02 01:31:13 補充：
3^3^3=3^27≠27^3=3^9
小心點!

Answer 2

3^1=3>8^0=1
3^2=9>8^1=8
3^3=27 ..8^2=64
3^4=81...8^3=512

好像3次以上就不對了，怎麼還証的出來??!!

2007-12-02 01:27:31 補充：
再請問
你明明寫3^3^...>8^8^..
如n=1時
3^3>8
n=2時
3^3^3=27^3>8^2(<-這裡為什變2，不是應是8才對嗎?
還是你的"^"是代表乘(x)的意思。