高一餘式定裡與因式定理3題

Question

1.
設 f(x) 為一多項式，若(x＋1)．f(x)除以x²＋x＋1的餘式為3x＋5，求f(x)除以x²＋x＋1的餘式為____________


2.
設 a，b，c ∈Ζ，f(x)= x⁴+ax³＋bx²＋cx＋6有四個相異整係數一次因式，則序組(a，b，c)=_________________


3.
設 f(x)= x¹º³＋3x⁷⁹－2x⁶³＋5x⁴＋3x³－2x²－5x＋2則
f(x)除以x³－1的餘式為_____________，f(x)除以x²＋x＋1的餘式為______________

x^103＋3x^79－2x^63＋5x^4＋3x^3－2x^2－5x＋2

顯示不出來嗎?? = =
可我的電腦看的到啊

to *~???~*
輸入法用新注音中文
然後`(Esc下面的那個鍵)和U一起按
在鍵盤左邊輸入代碼
³(00B3)
²(00B2)
¹(00B9)
°(00B0)
剩下其它次方我打不出來所以也是用複製的

「同餘」老師沒講，課本找了也沒有
我是今天才知道有這個寫成三橫的記號
課本改得亂七八糟，刪掉好多內容 = =

Answer 1

1. 答案: -2x+3

由 除法定理得:

(1) (x＋1)f(x)= (x²＋x＋1 )P(x)+ (3x＋5) , 其中商式為P(x) 餘式為3x＋5
(2)f(x)= (x²＋x＋1 )Q(x)+ (ax＋b) , 其中商式為Q(x) 餘式為ax+b
將(2)帶入(1)得:

(x＋1)[(x²＋x＋1 )Q(x)+ (ax＋b)]= (x²＋x＋1 )P(x)+ (3x＋5), 將左式乘開得:
[(x＋1)(x²＋x＋1 )Q(x)]+ [(x＋1) (ax＋b)] = (x²＋x＋1 )P(x)+ (3x＋5)--恆等式
,所以
左式除以x²＋x＋1的餘式=(x＋1) (ax＋b)除以x²＋x＋1的餘式

=bx+(b-a) ; 右式除以x²＋x＋1的餘式=3x＋5. 因此bx+(b-a) =3x＋5,

所以a=-2, b=3, 故餘式為 -2x+3.


2. 答案: ( 3,-3 , -7), (1 ,-7 ,-1 ), (-1 , -7, 1), (1 ,-7 ,-1 ), (-1 ,-7 ,1 ), (-3 ,-3 ,7 ).

由首項係數1及末項係數 6, 根據 整係數一次因式檢查法 知四個相異整係數一

次因式可能為: (x加減1), (x加減2), (x加減3), (x加減6)

而由常數項為6知, 四個整係數一次因式只可能值為:

(x加減1), ( x加減1) , (x加減2), ( x加減3), 四組中每組選一個且只能選兩個減.

f(x)=(x-1)(x-1)( x+2) (x+3)
,(x-1)(x+1)( x-2) (x+3)
,(x-1)(x+1)( x+2) (x-3)
,(x+1)(x-1)( x-2) (x+3)
,(x+1)(x-1)( x+2) (x-3)
,(x+1)(x+1)( x-2) (x-3)等6種可能, 乘開與f(x)比較係數得:

(a，b，c)= ( 3,-3 , -7), (1 ,-7 ,-1 ), (-1 , -7, 1), (1 ,-7 ,-1 ), (-1 ,-7 ,1 ), (-3 ,-3 ,7 ).

字數太多貼不下其餘的貼在參考資料.

2007-12-01 15:10:33 補充：
3.
答案: (1)－2x²+4x＋2 (2) 6x+4

(1)
六項x¹º³, 3x⁷⁹,(－2x⁶³), 5x⁴, 3x³, (－2x²－5x＋2) 分別除以x³－1的餘式為
x, 3x, 0, 5 x, 0, (－2x²－5x＋2)

所以f(x) 除以x³－1的餘式 = 上面這些餘式加起來=－2x²+4x＋2

(2)
f(x)除以x³－1的餘式 = －2x²+4x＋2除以x²＋x＋1的餘式 = 6x+4.

2007-12-01 15:11:22 補充：
原因如下:

(a)－2x²+4x＋2除以x²＋x＋1的商式為-2, 餘式為6x+4
(b)設f(x) 除以x³－1的商式為Q(x) 餘式為－2x²+4x＋2

由 除法定理 得: f(x)= (x³－1 )Q(x)+ (－2x²+4x＋2),

=(x-1)( x²＋x＋1) Q(x) + (－2x²+4x＋2)

=(x-1)( x²＋x＋1) Q(x) +[ (-2) ( x²＋x＋1) +(6x+4)], by (a)

=( x²＋x＋1)[ (x-1) Q(x) + (-2) ]+(6x+4)

所以, f(x)除以x³－1的餘式 = 6x+4

2007-12-01 15:24:42 補充：
1.
解法二:
(1)令w為x²＋x＋1=0之一根, 則 w²＋w＋1 ,w ³ =1可利用此二式

(2)

(x＋1)f(x)= (x²＋x＋1 )P(x)+ (3x＋5) ,

(w＋1)f(w)= (0 )P(w)+ (3w＋5) =3w＋5

f(w)= (3w＋5)/ (w＋1)= -2w+3

(3)

f(x)= (x²＋x＋1 )Q(x)+ (ax＋b)

f(w)= (w²＋w＋1 )Q(w)+ (aw＋b)=aw＋b=-2w+3, 比

較係數得: a=-2, b=3, ax+b=-2x+3, 故 餘式為 -2x+3.

2007-12-01 15:25:33 補充：
w²＋w＋1=0不見了

2007-12-01 15:35:41 補充：
錯誤更正：四個一次因式要" 相異" 頭尾刪除所以 f(x)剩下
(x-1)(x-1)( x+2) (x+3) ----刪除
,(x-1)(x+1)( x-2) (x+3)
,(x-1)(x+1)( x+2) (x-3)
,(x+1)(x-1)( x-2) (x+3)
,(x+1)(x-1)( x+2) (x-3)
,(x+1)(x+1)( x-2) (x-3)----刪除

答案: (a，b，c)=(1 ,-7 ,-1 ), (-1 , -7, 1), (1 ,-7 ,-1 ), (-1 ,-7 ,1 )

2007-12-01 15:39:45 補充：
多項式的符號很佔空間, 你貼太多題了. 建議你分成三題發問!

2007-12-01 16:15:19 補充：
求f(x)除以x³－1的餘式：

因為 x³除以x³－1的餘式為1, 所以就將 f(x) 的所有 x³項 以 1 代入降成

次數小於三次的多項式, 就是其餘式了, 這個其實就是

"同餘 "(congruence) 的概念了, 此與整數求餘數一樣, 概念相似,

通常寫成三橫的記號.

例如:

"f(x)= x^100+5x^5-6x^4+7x^3-8x^2+9x+10" 除以x³－1的餘式 =

x+5x^2-6x+7x-8x^2+9x+10=-______<-----答案.

2007-12-01 16:17:39 補充：
打錯更正：
x+5x^2-6x+7-8x^2+9x+10=______<-----答案.

2007-12-02 00:47:38 補充：
錯誤更正：
答案: ( a，b，c)=(1 ,-7 ,-1 ), (-1 , -7, 1).

因為有兩個重複: (1 ,-7 ,-1 ), (-1 ,-7 ,1 ),

所以應該只有兩個答案 !!

打的眼花撩亂, 我是假設你目前的進度應該是學到整係數一次因式檢

查法, 如果已經教到後面的進度可用有理根只有兩組算出來.具我的經

驗目前高尚未教到這裡.

高中是不教同餘的!!!, 只不過用同餘去算較快較簡易.

Answer 2

1.令f(x)=(x²＋x＋1)．q(x)＋(ax＋b)
　則(x-1)．f(x)=(x-1)(x²＋x＋1)．q(x)＋[ax²＋(b-a)x-b]
　　　　　=(x-1)(x²＋x＋1)．q(x)＋a(x²＋x＋1)＋[(b-2a)x-(b＋a)]
　　　　　　b-2a=3
　　　　　　-(b＋a)=5
　　　　　解聯立得a=-8/3，b=-7/3
　　　　　答案為(-8/3x-7/3)


2.由一次因式檢驗法
　→可能的因式有(x＋1)、(x-1)、(x＋2)、(x-2)、
　　　　　　　　(x＋3)、(x-3)、(x＋6)、(x-6)
　由根與係數關係→四根積為6
　可知道四個一次因式為(x＋1)(x-1)(x＋2)(x-3)
　　　　　　　　　　或(x＋1)(x-1)(x-2)(x＋3)
　由根與係數關係可知a/1=-(四根和)=-1或1
　　　　　　　　　　b/1=根的兩兩乘積和=-7或-7
　　　　　　　　　　c/1=-(根的三三乘積和)=1或-1
　得到(a，b，c)=(-1，-7，1)或(1，-7，-1)


3令x³=1，則f(x)=(1．x)＋3(1．x)-2(1)＋5(1．x)＋3(1)－2x²－5x＋2
　　　　　　　=x＋3x-2＋5x＋3－2x²－5x＋2
　　　　　　　=－2x²＋4x＋3(除以x³-1的餘式)
　令f(x)=(x³-1)．q(x)－2x²＋4x＋3
　　　=(x-1)(x²＋x＋1)．q(x)-2(x²＋x＋1)＋(6x＋5)
　　　→除以x²＋x＋1的餘式為6x＋5

話說我今年才高一..
也不知道我上面打得有沒有錯...
煩請更強的大大來指教..

ps對了...你的次方怎麼打的...我從頭到尾都一直在複製的說..

2007-12-01 15:12:20 補充：
第1題我看錯題目了..
所以答案是錯的...
上面幾個答案才是對的

2007-12-01 17:54:55 補充：
感謝發問的大大..
我趕快來試試

Answer 3

1.
設餘式為ax+b,則(x+1)f(x)除以x²＋x＋1的餘式與
(x+1)(ax+b)除以x²＋x＋1的餘式相同(均為3x+5)
故a=-2, b=3,

2.(有理根定理,根與係數)
有理根必為6之因數±(1,2,3,6),且四根相乘=6
故有理根=1, -1, -2, 3或1, -1, 2, -3
so, a, b, c, d有兩組答案(-1, -7, 1)或(1, -7, -1)

3.(廣義餘式定理,令除式=0即可)
(1)令x³-1=0(將x³改為1),
故f(x)改為x²+3x-2+5x+3-2x²-5x+2=-x²+3x+3
(2)x²+x+1為x³-1之因式,故再將(1)之餘式除以x²+x+1即得
故餘式=4x+4

2007-12-01 15:30:30 補充：
第3題錯了,第一項應為x不是x²
(1)f(x)改為x+3x-2+5x+3-2x²-5x+2=-2x²+4x+3
(2)餘式=6x+5

Sorry!

Answer 4

第三題 事 x^103 後面那是幾次阿...?