一個關於數學的級數的問題.....好像是黃金比例

Question

Xn+1=1+[1/Xn],X1=1,請找出定義為這個數列的極限...
Xn+1=第n+1項的X
Xn=第n項的X
X1=第1項的X

可以詳細解釋這個級數,跟黃金比例的關係...
我找不出他們之間的關聯性!

Answer 1

註 : 在自然界裏，物體形狀的比例提供了在均稱和協調上一種美感的參考。在數學上，這個比例稱為『黃金分割』；在均稱和中「捨去負值」，這就是『黃金比例』。
X1 = 1
X2 = 1＋1/1 = 2
X3 = 1＋1/2 = 3/2 > 1
..
Xn = 1＋1/Xn-1 > 1＋ 0 = 1...............(*)
2 = 1＋1/1 >= Xn＋1 = 1＋1/Xn > 1 ; by (*) .........(**)
As n->∞
Let k = lim Xn
Then k = 1＋1/k
k2 = k＋1 ; 左右乘以 k
k2 - k－1 = 0 ; 移項
得
k = ( 1＋√5) / 2 或 ( 1－√5) / 2
因為 k > 1 , by (**)
得 k = ( 1＋ √5) / 2 (捨去負值) ...................... 黃金比例

Answer 2

一.應先證明數列收歛,否則不能假設有極限再求極限

二.數列收歛的觀察與證明如下:

1.觀察
X(1)=1, X(2)=2, X(3)=3/2, X(4)=5/3, X(5)=8/5,...
觀察得:
(1)數列之值左右跳躍,且越來越緊縮
(即有收歛的趨勢,但這不算證明,因不知以後各項是否依然如此)
(2)數列之值即費氏數列1,1,2,3,5,8,...連續兩項的比值

2.收歛的證明
(1)X(n)均為正數,且X(n+1)=1+1/X(n)>1, n=2,3,4,...
(2)
X(n+1)=1+1/X(n) -->(A)
X(n)=1+1/X(n-1) -->(B)
(A)-(B)得:X(n+1)-X(n)=-[X(n)-X(n-1)]/[X(n)*X(n-1)],故
X(n+1)-X(n)與X(n)-X(n-1)異號
(即左右跳躍) --(C)
|X(n+1)-X(n)|=|X(n)-X(n-1)|/[X(n)*X(n-1)]<|X(n)-X(n-1)|
(即越來越緊縮) --(D)
由(C),(D)知數列的lim存在

3.求極限值
設lim(n->∞)X(n)=t,則
t=1+1/t==>t=(1±√5)/2 (負不合,因X(n)均>=1)
故數列的極限=(1+ √5)/2

註:(1+√5)/2即黃金比例