高職三角函數問題~~~急!!!

Question

三角形ABC中∠A=75°,∠C=60°,b=4
求∠C=?面積=?外接圓周長=?內切半徑=?

三角形ABC中b=2,c=4,∠A=120,∠BAC平分線交於BC於D
求AD長度???



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題目一是求邊長C打錯!!!!

Answer 1

三角形ABC中∠A=75°,∠C=60°,b=4
求邊長C=?面積=?外接圓周長=?內切半徑=?

∠B = 180 - (75+60) = 45, 又依正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC=2R, 所以

4/sin 45 = c/sin60 (計算省略)

c = 2√6 .......................................................邊長CAns.


三角形面積 = (1/2)bcsinA = (1/2)X4X2√6Xsin75

=4√6Xcos15 (利用半角公式可以用cos30算出cos15,如果不懂可以再問我)
= 4√6X((√6+√2)/4)
=6+2√3.................................................三角形面積Ans.


外接圓周長=?
先求出外接圓半徑R, 同樣的依正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC=2R, 所以
b/sinB = 4/sin45 = 4/(1/ √2) =4√2 = 2R
R = 2√2

外接圓周長= 2Rπ = 2X 2√2Xπ =4√2π ..........................Ans.


內切半徑=?
依據公式 三角形面積 = rS, r為內切圓半徑, S = (a+b+c)/2 (三角形周長的一半)

同樣的依正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC

a/sin75 = 4/sin45
a/((√6+√2)/4) = 4/(1/√2)

a = 2√3+2

所以 S = (2√3+2 + 4 + 2√6)/2 = √3+√6+3
三角形面積 = rS
r = 三角形面積 /S
=( 6+2√3)/(3+√3+√6)...........................請自行化解






三角形ABC中b=2,c=4,∠A=120,∠BAC平分線交於BC於D
求AD長度???


利用三角形 ABC = 三角形ABD + 三角形BCD的原理來算

設線段AD為d, 又角ABD = 角DBC = 60度,

三角形ABC = (1/2)X2X4Xsin120 =(1/2)2dsin60+(1/2)4dsin60

8sin60 = 6dsin60

d = 4/3.................................AD長度Ans.

2007-11-30 14:08:59 補充：
( 6+2√3)/(3+√3+√6) 經整理後, 成為√3-√2+1, 不知是不是正確答案?

Answer 2

第一題:
(1)4/sin45=c/sin60，所以c=2*(根號6)
(2)三角形面積=1/2*c*4*sin75=6+2*(根號3)
(3)4/sin45=2R (R為外接圓半徑) R=2*(根號2)，所以周長=2*3.14*R
(4)三角形面積=rs ( r為內切圓半徑，s=(a+b+c)/2 )
所以4/sin45=a/sin75， a=2+2(根號3) 所以s=3+(根號6)+(根號3) 所以 r=(6+2*(根號3))/s
第二題:
三角形ABD面積+三角形ACD面積=三角形ABC面積
所以 1/2*4*AD*sin60+1/2*2*AD*sin60=1/2*4*2*sin120，AD=4/3



有些符號不會打，希望你看ㄉ懂!!!^^

Answer 3

題-1
∠B=180度-∠A-∠C = 45度
4/sin45 = C/sin60 → c=4*sin60/sin45=4*(2/√2)*( √3/2)=2*√6
三角形ABC面積 = (1/2)%b*c*sin75 = 6 2√3
其中sin75可以根據以下三角公式計算。 sin75=sin(45 30)=sin45*cos30 cos45*sin30
因為∠B=45度，所以外接圓和弧弦邊b對應的圓心角度是90度。
所以半徑r是 r^2 r^2=b^2=16
所以 r = 2√2
外接圓周長 = 2*pi*2√2 = 4√2*pi
假設內切圓的圓心是K，一定有一半徑垂直對邊b。并且假設邊b和這條半徑的交叉點是D然後三角形KDC是一個內角分別為30度、60度和90度的直角三角形。假設內切圓半徑=r，則
DC=r*√3
AD=b-DC=4- r*√3
AD/AB = (4- r*√3)/c = sin(45/2) = √{(1/2)*(1-cos45)}
所以(4- r*√3)/ 2*√6 = √{(1/2)*(1-√2/2} 解 r (細節省略請自己計算。)

題-2
假設邊AB沿著正x-坐標軸,邊AD沿著y-坐標軸,邊AE沿著z-坐標軸
則向量AB和向量AC分別為
AB=(4, 0)
AC=2*(-1/2, √3/2)
假設AD長 = u
則向量AD=u*(1/2, √3/2) (式-1)
沿著邊BC的單位向量Ubc為
Ubc = (AC-AB) / |(AC-AB)|
= {(-1, √3)-(4, 0)} / √{5^2 3}
= (1/√28) * (-5, √3)
假設BD長 = y
AD = AB+BD
= AB+y*Ubc
= (4, 0)+(y/28)*(-5, √3)
= (4- 5y/28, y√3/28) (式-2)
(式-1) = (式-2)
u*1/2 = 4- 5y/28 (式-3)
u*√3/2 = y√3/28 (式-4)
解二元一次代數方程組(式-3)和(式-4)
(式-4)* √3+(式-4)*5 得
u=4/3
AD = 4/3

2007-11-30 13:57:43 補充：
請擦掉題-2中以下文字句子
邊AD沿著y-坐標軸,邊AE沿著z-坐標軸

Answer 4

三角形ABC中∠A=75°,∠C=60°,b=4
求∠C=?面積=?外接圓周長=?內切半徑=?

∠B=180-75-60=45
4/sin45=c/sin60=2R
4/(√2/2)=c/(√3/2)
c=2√6
R=2√2

Answer 5

b指的是哪邊啊~

Answer 6

題目已經有角C還問角C?