有關微積分的數學問題~急!!20點俸上~有請數學達人!!

Question

問題很簡單!!但是請用兩種不同方法幫我解出來~因為教授要我們用兩種方法解出來才可以證明!!多謝~~!!

題目如下:

Find the highest and lowest points on the curve x^2+xy+y^2=12

Answer 1

法一.
(本題圖形為橢圓)
最高點最低點必有水平切線,設y=k為切線
切線與曲線交點有重根,則
x^2+kx+(k^2-12)=0有重根(b^2-4ac=0)
so, k^2-4(k^2-12)=0, y=k=4, -4, x=-2, 2
故最高點(-2, 4), 最低點(2, -4)

法二.
最高點最低點產生在dy/dx=0處,
又(隱函數導函數)
(一階)dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)=0,
(二階)d^2y/dx^2=-72/(x+2y)^3
so, 2x+y=0 , x+2y≠0
2x+y=0與x^2+xy+y^2=12聯立(求交點),得
(x,y)=(2, -4),(-2, 4)
代入y''(x)知是最低點與最高點

Answer 2

(1)

利用隱函數的微分:


將y視為x的隱函數把 x^2 + xy + y^2 = 12 左右兩邊對 x 微分:

x^2 對 x 微分得: x^2

xy 對 x 微分得: (y + xy')

y^2 對 x 微分得: 2yy'

12 對 x 微分得: 0


因此得： 2x + (y + xy') + 2yy'=0

(2x + y) + (x + 2y) y'=0


解出y'= - (2x + y)/(x+ 2y)


本題的關鍵觀念在此 :

" 圓滑封閉曲線的最低點與最高點發生在 切線斜率為零 時 "


因此, 令y'=0, 可得此曲線產生最小值與最大值之點的 x座標

, 於是, 令y'=0, 即分子等於零得: 2x + y = 0, 即 y = - 2x

以 y = - 2x 帶入原曲線: x^2 + xy + y^2 = 12

得: x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 12

3 x^2 = 12,

x^2 = 4,

即 x = 2 或 x = - 2

以 x = 2 帶入 y = - 2x 得: y = - 4----最小值

以 x = - 2 帶入 y = - 2x 得: y = 4------最大值

Answer:

The lowest point on the curve is ( 2, - 4), and

the highest point on the curve is (- 2, 4).


註解 :

(a)本題之曲線為二次圓錐曲線

f(x,y)=x^2 + xy + y^2 - 12 =0 中的橢圓類

因為 a=1, b=1, c=1, b^2 - 4ac = - 3 <0.

(b)利用座標軸的旋轉,例如 "順時鐘" 旋轉 45度

即 x=x' + y'的根號2分之一, y=x'- y'的根號2分之一帶入原曲線可得:

x'^2 +3y'^2 = 24所以它是橢圓.



(2)

利用判別式 b^2 - 4ac >=0:



將 x^2 + xy + y^2 = 12 表示成


x^2 + ( y)x + (y^2 - 12)=0


b^2 - 4ac = y^2 - 4(y^2 - 12)>=0 (因為 x有實根)


化簡得 : y^2 - 16<=0


即 , 最小值 =- 4 =< y <= 4= 最大值

以 y = - 4 帶入原曲線得: x = 2

以 y = 4 帶入原曲線得: x = - 2


Answer:

The lowest point on the curve is ( 2, - 4), and

the highest point on the curve is (- 2, 4).