高二數學-指數對數 2題

Question

1.假設放射性元素雷每經一年質量只剩原質量的a倍，其中a為介於0與1之間的常數，已知雷的半衰期(衰變到只剩原質量一半所需的時間)為1600年，求其哀變到原質量的　八分之五　所需的時間大約為？　(已經log 2 = 0.301) (A)1000年 (B)1100年 (C)1200年 (D)1300年 (E) 1400年


2.設 x, y, z 均為正數，已知x^y = 1 (x的y次方)，y^x=2 ， z^x = 三分之ㄧ，則xyz之值為?? (A) 三分之二 (B) 二分之三 (C)六 (D)六分之ㄧ (E)三分之八

SORRY~ 第二題 的確是 y^z = 2

Answer 1

一.(B)
每1600年衰變剩1/2,(設原有1單位),則t年後剩下
(1/2)的(t/1600)次方
本題:(1/2)^(t/1600)=5/8,取log,得
(t*log2)/1600=log(8/5)==>t=1084約1100年

二.
A.假設您題目沒錯,答案是(A)
(1)x^y=1===>x=1 或 y=0(不合,因y^x=2)
(2)z^x=1/3==>z=1/3
(3)y^x=2===>y=2
故xyz=2/3

B.題目之y^x=2是否為y^z?若是,則答案選(E)
(1)x^y=1==>x=1或y=0(不合)
(2)z^x=1/3==>z=1/3
(3)y^z=2==>y=2^3=8
故xyz=8/3

Answer 2

(1)

首先觀察: 衰變到

只剩原質量1/2--------------[即1/2的 1次方]------費時1600年的 1倍,

只剩原質量1/4=(1/2)^2----[即1/2的 2次方]------費時1600年的 2倍,

只剩原質量1/8=(1/2)^3----[即1/2的 3次方]------費時1600年的 3倍,

... 所以解本題的關鍵在此:

只剩原質量 5/8=(1/2)^t----[即1/2的 t次方]-------費時1600年的 t倍,


故 , 所求=1600t


所以本小題 就是由假設 ( 1/2)^t = 5/8 出發, 解出 t=?

這個式子, 兩邊取對數, 再用一下對數的基本運算可得:

log ( 1/2)^t = log (5/8),

t log (1/2) = log (5/8),

t log (1/2) = log (10/16),

t ( log1- log2) = log10- log16,

t (-log2) =1- log16,

-t log2 =1- log(2^4) ,

- t log2=1- 4 log2,

- 0.3010 t =1- 4*0.3010,

t = (1- 4*0.3010)/(-0.3010 ),

t = 0.204/0.301= 0.68 ( 近似值 )

所求 = 1600t = 1600*0.68 = 1088 = 約 1100 ( 最接近選項 B ).

答案 : (B)

[注意到 ( 1/2)^t = 5/8, 左邊為指數的形式( 即連乘的形式),

右邊又大於零, 因此可以掛上對數, 連乘的數掛上對數才易化簡]


(2)

注意到: 1^y=1, 對任意 y均成立; 又, 1^0=1.

由第一個條件 x^y=1 著手最簡易, 所以

x=1 (合) 或

y=0 (不合, 此與第二個條件 y^x=2衝突, 因為 0^x=0, 不等於2)

因此, 得到 : x=1

以 x=1 帶入二個條件 y^x = 2 , 得到 : y = 2

以 x=1 帶入三個條件 z^x = 1/3, 得到 : z = 1/3

所以 xyz = 1*2*1/3 = 2/3


答案: (A)