請數學高手指點，傅立葉級數，20點，謝謝！

Question

此問題用傅立葉級數來得到一個被方波函數〈square-wave function〉所強迫的簡諧振子〈simple harmonic oscillator〉的特別積分〈particular integral〉：
yll + w2y = s(x) ………….(1)
當
S(x) = -1 [ -1 < x < 0 ]
S(x) = 1 [ 0 < x < 1 ]
且s在這範圍之外重複。
(a) 證明s的傅立葉級數為：
s = 4/π (sinπx + 1/3 sinπx + 1/5 sin 5πx + ………)
(b) 然後找出算式(1)的傅立葉級數。

如果可以的話，***我的知識，至我的發問區看一下，還有一些物理或數學疑問需要幫忙解惑，不管大小都20點，拜託了，謝謝！

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Answer 1

(a)
S(x)為奇函數,週期2,傅氏級數為Σb(n)sin(nπx), n=1,2,3,...
b(n)=S(x)*sin(nπx)的定積分,x=-1~1
=2(1-cos(nπ))/(nπ), cos(nπ)=(-1)^n
故s = 4/π(sinπx+1/3*sin3πx+1/5*sin5πx+...)

(b)求傅立葉級數解吧!?
(1)設w^2≠(2n-1)π,則
y(x)=Acoswx+Bsinwx+Σa(n)sin(2n-1)πx, n=1,2,3,... (A)
其中4/a(n)=(2n-1)π*[w^2-(2n-1)^2π^2]
(2)若w^2=(2m-1)π,則
y(x)與(A)式雷同,但a(m)sin(2m-1)πx項要多改為
a(m)*x*sn(2m-1)πx
其中-2/a(m)=(2m-1)^2*π^2