請數學及物理高手指點，特徵值及特徵向量，20點，謝謝！

Question

兩個質量由彈簧所連接，如圖：

圖片參考：http://i42.photobucket.com/albums/e316/yahoodi/spring.jpg


(a) 證明此振盪的運動方程式為如下：

圖片參考：http://i42.photobucket.com/albums/e316/yahoodi/ocillation.gif


(b) 從判斷出其特徵值〈eigenvalue〉及特徵向量〈eigenvector〉，找出其頻率特性及草構出此系統的振盪的基本方式。

如果可以的話，***我的知識，至我的發問區看一下，還有一些物理或數學疑問需要幫忙解惑，不管大小都20點，拜託了，謝謝！

Answer 1

設平衡狀態如圖(A),t時刻左端m右移x(t),右端m右移y(t)如圖(B):
|-------------m-------------m--------------| -->(A)
|--------------------m----------m--------- | -->(B)
則,中間彈縮短x-y
(1)左端m受力 -5kx-2k(x-y) ==>mx''=k(-7x+2y)
(2)右端m受力 -2ky+2k(x-y) ==>my''=k(2x-4y)
故得系統之運動方程式(a)

(b)
矩陣(-7 2//2 -4)的eigenvalue為 -3, -8
相對eigenvector為(1, 2), (-2, 1),
(利用矩陣對角化技巧,於此不易書寫)設X=x+2y, Y=-2x+y, 則
mX''=-3kX==>X=a*cos(pt)+b*sin(pt), 其中p^2=3k/m
mY''=-8kY==>Y=c*cos(qt)+d*sin(qt), 其中q^2=8k/m
則
x=(X-2Y)/5
y=(2X+Y)/5