請協助算出導函數

Question

1. J(x)=y符合 xy''+ y'+ xy = 0 且 J(1) = 0 求
(a) J'(0)
(b) J''(0)

ans: a = 0 , b = -1/2 敎一下是怎麼導出來的?

請協助釐清概念以及算式~謝謝

Answer 1

你的題目應該是打錯了J(1) = 0應該是J(0)=1

假設y是x的多項式,也就是y=Σ(n=0,∞)An*x^n
y'=Σn*An*x^(n-1)
y''=Σn*(n-1)*An*x^(n-2)

xy''+y'+xy =Σ {n*(n-1)*An*x^(n-1)+n*An*x^(n-1)+An*x^(n+1)}
=Σ{[(n+2)*(n+1)*A(n+2)+(n+2)*A(n+2)+An]*x(n+1)}+A1=0
上式最後一步是將所有x的指數項統一所以第1及第2項的n用n+2代替,但是這樣會使得第二項少算n=1的項,故在最後加回來
如此每一項係數必須為0,也就是
A1=0
(n+2)*(n+1)*A(n+2)+ (n+ 2)*A(n+2)+An=0
(n+2)^2*A(n+2)=-An
A2=-A0/4
A3=0
A4=-A2/16=A0/64
:
:
A(2n-1)=0
A(2n)=(-1/4)^n*A0/(n!)^2

因為J(0)=1
所以A0=1
A2=-1/4

J'(0)=A1=0

J''(0)=2A2=-1/2



另外有比較快的方法
(a) J'(0)=y'(0)=-x(y''+y)|(x=0)=0

(b)利用公式
若f(a)=0且g(a)=0,則lim(x->a) f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a)
如此當x不為0時xy''+y'+xy = 0可以改寫成y''+y'/x+y=0
lim(x->0)(y''+y'/x+y)=y''(0)+y''(0)+y(0)=0
J''(0)=-J(0)/2=-1/2

Answer 2

題目應該是J(0)=1吧!
(a)令x=0,則0+y'+0=0,故y'=J'(0)=0
(b)xy''+y'+xy=0兩邊再對x求一次導函數,得
y''+xy'''+y''+y+xy'=0代入x=0
y''+y''+1+0=0,故y''=J''(0)=-1/2

Answer 3

不好意思 題目沒有弄得很清楚 (a) 小題 J'(0) = ? (b) 小題 J''(0) = ?

Answer 4

(a), (b) 小題啦!
一開始我也有相同疑惑.

Answer 5

題目中 a . b 在哪??

2007-11-28 12:57:41 補充：
XD...原來是這樣...