微積分題目求解

Question

1. Find y' if x^y=y^x


2.Show that lim n->∞ [1+(x/n)]^n=e^x for any x>0

Answer 1

解題過程
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=jiunyan0309&b=6&f=1443722777&p=18
希望對你有幫助

2007-11-27 19:25:28 補充：
2.
換底 (1+x/n)^n=exp(n*ln(1+x/n))
而lim n->∞ n*ln(1+x/n) (令t=1/n)
=lim t->0 ln(1+xt)/t
=d/dt[ln(1+xt)] 代t=0 (因f'(0)=lim t->0 [f(t)-f(0)]/(t-0)] f(t)=ln(1+xt) )
=x/(1+xt) 代t=0
=x
這個部分有點問題
不建議這樣回答
因為t趨近0
是在0附近做答
t並非0
如果你是老師應該很清楚這點
是在t=0的鄰域求解
並非在t=0求解

2007-11-28 00:00:18 補充：
你大概眼睛瞎了,我有交代那是在不定型,我用羅必達法則

Answer 2

不完全同意以上意見.
因為他利用的是令 f(t) = ln(1+xt) 而所要求的極限是 f'(0),
又 f'(t) 在 0 連續, 因而可以利用 f'(t) 的 t 代 0.

不過, 同意當老師的解題者應小心! 上列解法會引起識者
議論, 也會誤導初學者! 最後要用 f'(t) 的公式, 換個變數代
號比較好! 也就是 ... = f'(0) = f'(u)|_{u=0} = x/(1+xu)|_{u=0}=x.

不過, 更大的問題存在!

2007-11-27 21:05:31 補充：
更大的問題是:
lim n->∞ [1+(x/n)]^n=e^x 能用對數函數微分來做嗎?

e 如何定義? 指數函數/對數函數的定義?

引前面評議者的話: 如果你是老師, 應給予學生正確的方向,
而不是把結果算出來而已!

Answer 3

1.
x^y=y^x兩邊同取ln,得 ylnx=xlny
再同時對x求導函數,得y'*lnx+y/x=lny+x*y'/y
同乘xy,並移項得y'*(xylnx-x^2)=xylny-y^2
故dy/dx=(xylny-y^2)/(xylnx-x^2)


2.
換底 (1+x/n)^n=exp(n*ln(1+x/n))
而lim n->∞ n*ln(1+x/n) (令t=1/n)
=lim t->0 ln(1+xt)/t
=d/dt[ln(1+xt)] 代t=0 (因f'(0)=lim t->0 [f(t)-f(0)]/(t-0)] f(t)=ln(1+xt) )
=x/(1+xt) 代t=0
=x

又指數函數為連續函數，故原極限=exp(x)即e^x

2007-11-28 13:12:47 補充：
大家好!
我以導函數的定義求之,
計算過程中,x視為常數,針對t求導函數,所以是d/dt
而且lim與函數運算是否可以互換,連續的條件也有交代,而不是直覺式的計算
本題的答案是e^x,當然e的定義是已知的,無須另行定義了吧!
若沒交代清楚,還請多指教!

2007-11-28 14:12:23 補充：
而且會發問這樣lim問題者,應該是指對數函數的初學者,看來偏導函數的符號是不適合的,OK!?
又有人希望以符號u代替t,導函數再代u=0,不知有否特別用意?