數值分析(作業)

Question

令Xn=Xn-1/2+1/Xn-1，其中n€N。
(1)試證明給定任意初值X0>0，{Xn}收斂

(2)求其收斂值(答案是√ 2,why?)

Answer 1

ｂｙ　算幾不等式：　ｘｎ＜√２　ｆｏｒ　ｎ＞１
　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　１
ｘｎ＝Ｐ（ｘｎ－１）＝＿＿＿ｘｎ－１＋＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　２　　　　　　ｘｎ－１
　　　　　　１　　　１　　　　　　１
ｐ'（ｘｎ）＝＿－＿＿＿＿＿　＜　＿＿＿
　　　　　　２　　ｘｎ^２　　　　　２

｜ｘｎ－√２｜＝｜ｇ'（ｃ）｜｜ｘｎ－１－√２｜
　　　　　　　＜（１／２）｜ｘｎ－１－√２｜
ｆｏｒ　ｃ€（√２、無限大）
ａｐｐｌｙ　ｔｈｉｓ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ　ｇｉｖｅｓ

｜ｘｎ－√２｜＜（１／２）｜ｘｎ－√２｜
　　　　　　　＜。。。＜
　　　　　　　＜（１／２）^ｎ｜ｘ０－√２｜
ｓｉｎｃｅ　０＜（１／２）＜１　
ｗｅ　ｈａｖｅ

ｌｉｍ（１／２）^ｎ＝０　（ｆｏｒ　ｎ趨近無限大）

ａｎｄ

ｌｉｍ｜ｘｎ－√２｜＜（１／２）^ｎ｜ｘ０－√２｜＝０

ｈｅｎｃｅ｛ｘｎ｝　ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ　ｔｏ　√２

這我以前寫的　雖然老師沒考...
不過這跟我所用的數值分析例題的証明手法一樣
絕對是標準的
還有所有的＂＜＂　還要有個＂＝＂
不知道怎打出來所以...

Answer 2

case1 X0=√ 2 =>Xn=√ 2


case2 X0>√ 2 =>{Xn}遞減


case3 0X1>√ 2 =>case2

這怎麼好像是我們期中考的題目!!?
請問你是誰!?

Answer 3

考慮Xn-Xn-1=(1/Xn-1)-(Xn-1/2)=(2-Xn-1^2)/2Xn-1

如果Xn-1<√ 2,Xn-Xn-1>0,假設Xn-1=√ 2-y,
Xn=(√ 2-y)/2+1/(√ 2-y)=(2-2√ 2y+y^2)/(2√ 2-2y)=√ 2+y^2/(2√ 2-2y)>√ 2


如果Xn-1>√ 2,Xn-Xn-1<0,表示X將收斂到√ 2

Answer 4

1.
(1)首先數學歸納法證明x(n)>0 (應該很容易看出)
(2)由算幾不等式(因x(n-1)>0),得
x(n)=x(n-1)/2+1/x(n-1)>=2*√(1/2)=√2
(3)再證{x(n)}遞減
pf:x(n)/x(n-1)=1/2+1/x(n-1)^2
<=1/2+1/2 (因x(n-1)>=√2)
=1
so, x(n)<=x(n-1)
(4)遞減有下界(因x(n)>0或x(n)>=√2),故數列{x(n)}收斂

2.
設{x(n)}n->∞,lim為t,則
t=t/2+1/t, 又t>0
故t=√ 2

註:若初值給負數,則lim為-√2