跟數字次方末位數字有關的題目

Question

請問一下喔
12345678的25次方的末兩位數字是多少??
要怎麼算??
不能用計算機算唷??
請各位高手幫個忙

Answer 1

12345678^25=(12345670+8)^25
=12345670^25+C(25,1)*12345670^24*8+...+C(25,24)*12345670*8^24
+8^25
前面24項至少是12345670的2次方...末兩位數字為00
第25項=25*12345670*8^24=12345670*200*8^23...末兩位數字為00
最後一項8^25=2^75=(2^5)^15=32^15=(30+2)^15
=30^15+...+C(15,14)*30*2^14+2^15
前面14項的末兩位數字仍為00
第15項=15*30*2^14...末兩位數字為00
最後一項2^15=32^3=30^3+3*30^2*2+3*30*2^2+2^3
=27000+5400+360+8=32768
答案為68

Answer 2

因為只算末兩位數因此12345678的25次方和78的25次方皆相同
78...78, 78^2...84, 78^3...52, 78^4...56, 78^5...68,......
由二次方開始我發現到只要算前一次的末兩位數乘3之後的末兩位數即可,
例如: 84*3=2(52), 52*3=1(56), 56*3=1(68), 因此
78^6...04, 78^7...12, 78^8...36, 78^9...08, 78^10...24, 78^11...72, 78^12...16,
78^13...48, 78^14...44, 78^15...32, 78^16...96, 78^17...88, 78^18...64,
78^19...92, 78^20...76, 78^21...28, 78^22...84,由此開始循環,因此
78^25... 68