高中數學(增根.組合式.微積分.參數式)

Question

1."增根"減根"的幾何意義為何?為什麼會有這樣的情形發生?只要在方程式的兩邊同乘上一個非常數的東西就會增根嗎?最好有圖例.

2.為什麼有時後求一條直線可以用組合式.L+KL'=L''它的幾何意義是什麼?還有圓和球的組合式的幾何意義呢?
3.高中數學裡面有哪些可以用微積分來解(除了圖形的切線斜率)
4.雙曲線的參數式X=H+sec.Y=K+tan.這個式子的角度是指圖形上的哪裡?

2.組合式.我的意思是為什麼考以這樣用.有沒有證明之類的


3.像說微積分能不能用來求一個函數的大略圖形.像三次式或四次式

4.....真的沒有嗎?.....

Answer 1

1."增根"減根"的幾何意義為何?為什麼會有這樣的情形發生?

增根, 就是解方程式的過程引入新的解. 幾何上的意義要看
你是怎樣的方程式來說. 例如一個未知數的方程式, 其解可
以看成一個函數與 x 軸的交點. 而增根就是在改變方程式
過程讓交點增加了.

解方程式 F(x)=0 的過程, 相當於在找同一集合 (解集合) 的
不同形式描述. 例如 {x | (x-1)(x-2)=0} = {x | x-1=0 或 x-2=0}.
正確的解法是
　(x-1)(x-2)=0 　<==>　x-1=0 或 x-2=0.
如能確認在上列解的過程是相互蘊涵 (由左邊可推出右邊,
反之亦然), 則沒有增根減根的問題. 另方面, 由
　(x-1)(x-2)=0　==>　(x-1)(x-2)(x-3)=0
左邊(方程式)可推證右邊(方程式); 但其逆不真, 右邊無法推
出左邊. 因此, 由左而右發生增根, 由右向左則發生減根的問
題.


2. 組合式? 不了解題意!
前些時回答過一個由曲線 f(x,y)=0 與曲線 g(x,y)=0 構造出另
一曲線 f(x,y) t g(x,y)=0 的問題, 不知是否有關?
f(x,y) + t g(x,y)=0, 其中 t 是常數 , 決定了一條曲線, 通過原來那
兩條曲線所有交點. 而且 t 不為 0 時, 新曲線與兩條曲線之任
一條曲線的交點, 就是原來那兩條曲線的交點. 所以變動常數
t 就得到一族曲線, 它們都通過相同的一些點.


3. 高中數學裡面有哪些可以用微積分來解?
這問題對我而言太難、太空泛了! 何不反方向看看:
給一個問題, 有哪些方法去解? 例如求極大極小? 例如想知道
一個函數的圖形會有甚麼模樣, 是否與微積分有關?


4. 是 x=h + sec(t), y=k + tan(t) 的 t?
個人認為這並不是很具有幾何意義的.
它只是利用 sec^2(t)-tan^2(t)=1的特性而設的. 如果換成
x=h + cosh(t), y=k + tanh(t), 這時候的 t 倒是有點幾何意義.
不過, 高中數學當然不會提及 cosh 與 sinh 這兩個函數.

2007-12-06 19:09:49 補充：
2.求一條直線可以用組合式.L+KL'=L''它的幾何意義是什麼?還有圓和球的組合式的幾何意義呢? 有沒有證明之類的?
[A]
如果是 f(x,y) + t g(x,y)=0 這樣的問題, 可看看這裡:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507110709934

Answer 2

3.微積分能不能用來求一個函數的大略圖形.像三次式或四次式
[A]
可以啊! 回答中不是提了:
　例如求極大極小? 例如想知道一個函數的圖形會有甚麼模樣, 是否
　與微積分有關? (當然! 是有關的.)
在微分的應用中, 畫函數曲線就是一個重要應用, 有一節專門談畫函
數曲線的, 整合了極值、凹向、漸近線等.

2007-12-06 19:19:19 補充：
"x=h + cosh(t), y=k + tanh(t)" 寫錯了! 是 "x=h+cosh(t), y=k+sinh(t)" 才對.

把上列曲線平移, 使成標準式 x=cosh(t), y=sinh(t).
當 t>0 時, 它是 x^2-y^2=1 曲線右股, (cosh(t), sinh(t)) 與 (0,0) 連線段,
以及 x 軸所圍成的區域面積的兩倍.

這性質類似 x=cos(t), y=sin(t) 之 t 的意義.

Answer 3

補充說明:
1.解方程式運算時,經常會用等量公理,兩邊同取一個函數,例如同時平方以去掉根號,so,解f(x)=g(x)==>f^2(x)=g^2(x),但前後兩個方程式是不一樣的,f^2(x)=g^2(x)表f(x)=g(x)或f(x)=-g(x),第二式的根就是增根了.
兩邊同時乘上一函數h(x),so, f(x)=g(x)==>h(x)*[f(x)-g(x)]=0,新方程式的解為f(x)=g(x)或h(x)=0,其中h(x)=0之根很可能就是多算的(增根)
2.設L與L'交於點(p,q),則L: a1(x-p)+b1(y-q)=0, L':a2(x-p)+b2(y-q)=0,過(p,q)之第三條線L": 法向量必為(a1,b1), (a2, b2)之線性組合,因此可寫為(a1,b1)+k(a2,b2)或k(a1,b1)+(a2, b2),因此L"=L+kL'或L"=kL+L'
3.y=ax^2+bx+c圖形與y軸交點的高低=c, 切線斜率=b,凹向由a決定(與二次導函數有關)同理y=ax^3+bx^2+cx+d圖形與y軸交點的高低=d,切線斜率=c,凹向由b決定(二次導函數),a為最右側上昇或下降,四次式亦同理

2007-12-04 23:23:24 補充：
雙曲線的參數式x=h+sect.y=k+tant,
沒看過具體的意義,我也想不出來,
是否真無意義?不敢肯定,maybe哪天你會想到一個漂亮的意義喔!