代數題目，整數餘數。

Question

在黑板上寫下1,2,3,...,2007共2007個正整數，每次允許抹去若干個數，同時又寫下些這些數之和除以17的餘數，這樣進行幾次之後，黑板上只剩下兩個數一個是104，求另一數為?

Answer 1

16 + 17k . 0 <= k <= 117 . k 屬於整數

2007-11-19 01:28:47 補充：
利用同餘的概念
此題中 1 + 2 + 3 + ... + 2007 ≡ 1 ( mod 17 )
對於刪掉任意的數字 又加上這些數字和除以17 的餘數
所以 新的 數列和 除以 17 也是餘 1
舉個例子
1 + 2 + 3 + .. + 2007≡ 1 ( mod 17 )
假設我刪掉 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
=> ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) + ( 7 + ... + 2007 )
≡ 4 + ( 7 + .... + 2007 ) ≡ 1 ( mod 17 )
其中 4 就是 1 + .. + 6 = 21 除以 17的餘數
所以不管如何刪除 ， 剩下的數字和 一定是 17的倍數 + 1
=> 104 ≡ 2 ( mod 17 )
=> 104 + n ≡ 2 + n ≡ 1 ( mod 17 )
所求 n = 16 + 17k . 0 <= k <= 117

2007-11-19 01:31:04 補充：
再舉個例子好了

假設我刪掉的是 18 所以新加入的數字就是 1

1 + 2 + .. + 18 + .. + 2007 ≡ 1 ( mod 17 )

18 + ( 1 + 2 + 3 + ... + 17 + 19 + .... + 2007 ) ≡ 1 ( mod 17 )

=> "1" + ( 1 + 2 + ... + 17 + 19 + ... + 2007 )≡ 1 ( mod 17 )

2007-11-19 21:50:43 補充：
所以剩下的那個數字 可以是 16 + 17k 0 <= k <= 117

也就是說 剩下的那個數字 有118種可能

2007-11-25 15:22:48 補充：
現在的問題就在於 如果說我寫了數字的和是 17的倍數

那要不要寫下 0

如果要 那答案如Eva 大說的就一個 16

如果不用 那答案就是 我寫的 16 + 17k

2007-11-27 12:57:24 補充：
後來又想過

我覺得另外一個大大寫的比較對...XD

Answer 2

eva寫的是對的啦，我也不知道他對不對，不過應該是剩下惟一一個可能，就是16，因為2005、2006、2007、沒辦法被整除，所以必然會剩下16，這個16怎樣消也消不掉，你那118個可能可以被慢慢消掉，消到剩104跟16絕對消不掉。

Answer 3

另一數為16
我的想法是---
1.除以17的餘數只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16等17種
2.如果你依次只擦掉一個原有的數字並寫下餘數 如此重複直到2007 /17=118.....1 則此時黑板會留下1,2,3,4......16,0............1等等循環的餘數 把這些餘數相加再除以17 會發現和直接求算(1+2+3+.......+2007)/17 的餘數相同---都是1?????
3.這些循環的餘數(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0)---1+16=17---2+15=17........每一組只要這樣分類皆可以被17除盡 所以最後會剩下 2007/17 的餘數1 就算是隨機搭配 舉例 (1+3+5+7+13)/17=1....12 (2+4+6+8+9+10)/17=2....5 (11+12+14+15+16)/17=4...0 將所得的餘數再相加(12+5+0)/17----還是整除(其實就是同餘的概念)
4.由上述可以得知 如果每次允許抹去若干個數 也只是把原本分開的餘數合併起來除以17 也就是如同底下的算式
(1+5+9+8+15+16)/17=1/17+5/17+9/17+8/17+16/17 不論你是合併除還是分開除結果都一樣
5.這個題目的敘述中有提到-----剩下兩個數一個是"104"----104不可能是17的餘數 所以我想它應該是原有的數字中並未被擦掉的 如果另一數也是未擦掉的原數 那麼其他擦掉數所產生的餘數就應該是第三數--------矛盾
所以第二數應是餘數 而且是(1+2+3+........+2007-104)/17的餘數 也就是16
P.S.若有空把(16+104)/17-----會發現餘數-------還是1

Answer 4

可是題目說只剩下兩個數