微積分(數學)的問題!!請幫幫我!!謝謝!!

Question

"Estimate the area between x = 0 and x = 1

under the graph of the function f(x) = x3 using

a. a lower sum with two rectangles of equal
width.
b. an upper sum with two rectangles
of equal width.
c. the midpoint rule with two
rectangles of equal width. "
霧煞煞...
請幫幫我!!
謝謝!!

Answer 1

我們要拿 x 軸當做左邊及右邊, 共兩個長方形的底邊,
然後各取它們的高度, 最後, 把兩個長方形的面積加起來, 就是答案.
過程如下:
x = 0 到 x = 1, 長度為 1, 分割為兩段.
左段及右段各當為左邊及右邊長方形的底 (寬度 = 0.5),
至於左邊及右邊長方形的高(或叫做 "長"), 則取為:
題 (a)--拿左段及右段的左端點的高度 (f(0) 及 f(0.5)) 當長,
題 (b)--拿左段及右段的右端點的高度 (f(0.5) 及 f(1)) 當長,
題 (c)--拿左段及右段的中點的高度 (f(0.5) 及 f(0.75)) 當長,
把兩個長方形的面積 (長 * 寬) 加起來, 就是答案:
a. f(0)*(0.5) 加 f(0.5)*(0.5)
= 0 加 ((0.5)^3)*0.5
= (0.5)^4
b. f(0.5)*(0.5) 加 f(1)*(0.5)
= ((0.5)^3)*0.5 加 1*(0.5)
= (0.5)^4 加 0.5
c. f(0.25)*(0.5) 加 f(0.75)*(0.5)
= ((0.25)^3)*(0.5) 加 ((0.75)^3)*(0.5)
(這是用 Riemann Sum 求 x^3 在 [0, 1] 間的積分 的近似值; 此題近似效果很差, 因為只分割成兩份; 分割越多直覺上效果越好.)