數學邏輯題

Question

很久很久以前，在大西洋有一個小島，島上的居民接受阿拉伯算術的所有數字及四則法則，唯獨改變了對十個阿拉伯數字（１、２、３、４、５、６、７、８、９、０）的理解。因而教科書裡出現了以下一些古怪算式：
Ａ　７－３３＝－１
Ｂ　４Ｘ９　＝３９
Ｃ　７*４＝０
Ｄ　８Ｘ７＝８
Ｅ　３＋４Ｘ５＝３４
Ｆ　５１除２＝２
　　請你先把上列各式看懂，然後回答：
在這個島上，４０＋０４應該等於:?　１．該島上的數字等於甚麼？

Answer 1

由C知道, 7 與 4 均不為 1 或是 0, 不然等號右邊應該是 7 或 4.
又 7 與 4 均小於 5 , 不然等號右邊應該是兩位數.
故 7 與 4 應為 ( 2,3 ), ( 3,2 ), ( 2,4 ) 或( 4,2 ).

由B知道 9 下面公式
４Ｘ９ - １Ｘ９＝ ３９ - ９ = ３０
也就是說 9 這個個位數乘上另一個個位數, 會是 10 的倍數( 10 = 2*5 ),
故 9 必是 2 或 5 的倍數( 至少一倍以上 ).

若 9 = 2 或 4 或 8, 則 4 = 6, ( 請注意 9 = 6 時, 4 = 6 會造成衝突 )
若 9 = 5, 則 4 = 3 或 7 或 9.

我們由C知道除了 4 = 6 或 7 或 9 都不對, 所以 4 = 3 且 9 = 5, 3 = 1.
再由C, 7 = 2.
再由D, 8 = 0.
再由A, 1 = 9.
再由E, 5 = 4.
再由F, 2 = 7.

所以:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
9 7 1 3 4 8 2 0 5 6

４０＋０４ = 36 + 63 = 99 = 11

Answer 2

為避免混淆，先將島上的 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 )分別用 ( a b c d e f g h i j )代替，再用我們習慣的數字來取代他的古怪算式，可以得到：

原先 A式 7 - 33 = -1 轉換為
g - 11 c = -a
11 c = g + a 要使等式成立，必須 c, g, a都不等於0，且 c=1
g + a = 11

E式可轉換成 c + d * e = 10 c + d
d * ( e - 1) = 9 c 所以 d=3，e=4

B式可轉換為 d * i = 10 c + i
( d - 1 ) * i = 10 ， 因為 10=2*5，所以 i=5

D式可轉換成 h * g = h，因為已經有 c=1，只能讓 h=0等式才成立

C式可轉換成 g * d = j，使2數乘積為個位數的組合有(2*3)、(2*4)，又因為 d=3，所以 g=2，j=6

回到A式 g+a=11，可知 a=9

F式可轉換為 10e+a=b^2，因為 a=9，b^2=49，b=7，e=4
整理一下 (a b c d e g h i j )分別為 ( 9, 7, 1, 3, 4, 2, 0, 5, 6 )，至於題目中沒有提到的 f 就是 8囉。

島上的 40+04=11，也就是我們慣用的 36+63=99

Answer 3

*代表何意?