前n項和的比與第n項的比 入門題 求觀念

Question

設兩個等差數列之前n項和的比為(7n+2)：(n+4)，求此兩數列第5項的比為何？
疑問處：為何要用n=9帶入解？

Answer 1

設兩個等差數列的首項分別為a,b, 公差分別為d,e
則前n項和的比為(7n+2)：(n+4)={n[2a+(n-1)d]/2}:{n[2b+(n-1)e]/2}
=[2a+(n-1)d]:[2b+(n-1)e]=[a+(n-1)d/2]:[b+(n-1)e/2]
又此二數列的第5項分別為 a+4d, b+4e,
和上面的式子相比較得知: (n-1)/2=4, n=9

Answer 2

由等差級數公式
假設 一數列 首項 a1 . 公差d . 另一數列 首項b1. 公差d'
=> n * ( 2a1 + ( n - 1 ) d ) / 2 : n ( 2b1 + ( n - 1) d' ) / 2
= 2a1 + ( n - 1 )d : 2b1 + ( n - 1 ) d'
當你要求 第 n 項的比 若你代入 2n - 1
=> 2a1 + ( 2n - 1 - 1 ) d : 2b1 + ( 2n - 1 - 1 ) d'
= 2 ( a1 + ( n - 1 ) d ) : 2 ( b1 + ( n - 1 ) d ' )
= a1 + ( n - 1 ) d : b1 + ( n - 1 ) d'
= an : bn
所以當 n = 9 代入的時候 就是求 第五項的比