等比級數和sigma 各一題 算簡單 幫忙

Question

試求總和=﹝1/(1*2*3)﹞+﹝1/(2*3*4)﹞+﹝1/(3*4*5))+‧‧‧+{1/﹝n(n+1)(n+2)﹞}？
試求級數9+99+999+‧‧‧‧‧‧‧至第n項的和。

給tsj：
這邊看不懂。

=1/2 *Σn1/k－Σ2(1/k)＋1/2 *Σ3(1/k)；因為Σk=1,n f(k+i)＝Σk=1+i,n+i f(k)

尤其是在f這東西，看不懂，太多符號，不知道是哪堆。

Answer 1

試求總和=﹝1/(1*2*3)﹞+﹝1/(2*3*4)﹞+﹝1/(3*4*5))+‧‧‧+{1/﹝n(n+1)(n+2)﹞}？
解:每項改小2項相減，再乘以(1/2)，(1/2)是公因數提出來，括號內加減對銷
原式=(1/2)[1/(1*2)-1/(2*3)]+ (1/2)[1/(2*3)-1/(3*4)]+ (1/2)[1/(3*4)-1/(4*5)]+….+ (1/2){1/[n*(n+1)]-1/[(n+1)*(n+2)]}
=(1/2){ [1/(1*2)-1/(2*3)]+ [1/(2*3)-1/(3*4)]+ [1/(3*4)-1/(4*5)]+….+ 1/[n*(n+1)]-1/[(n+1)*(n+2) }
=(1/2){1/2-1/[(n+1)*(n+2)]}
=(1/2)[n(n+3)/2(n+1)(n+2)]
=(n^2+3n)/[4(n+1)(n+2)]
答: (n^2+3n)/[4(n+1)(n+2)]

試求級數9+99+999+‧‧‧‧‧‧‧至第n項的和。
解: 原式=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+….+[(10^n)-1]
=(10+10^2+10^3+….+10^n)- n ……前項用等比級數公式a1(r^n-1)/(r-1)
={10[10^n-1]/(10-1)}-n
=[10^(n+1)-10-9n]/9
答: [10^(n+1)-10-9n]/9

Answer 2

那你能不能在這意見說明呢？

Answer 3

對不起!!

編輯系統不讓我繼續資補充資料，我只好刪了它。

Answer 4

1. 原式=1/2[1/(1*2)-1/(2*3)+1/(2*3)-1/(3*4)......+1/(n)(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=1/2[1/2-1/(n+1)(n+2)]=(n^2+3n)/[4(n+1)(n+2)]
2.令原式等於S, 10S=99+999+9999+......+n個9+(n+1)個9
所以10S-S=9S=(n+1)個9-9=99999...(n個9)0
(此表示有個9最後個位數為0),
s=1111.......(n個1)0 (此表示有個1最後個位數為0),

2007-10-28 16:28:54 補充：
(此表示有n個9和最後的有n個1中間少個n,)

Answer 5

我會第二題
　9+99+999+......+999...9(n個9)
=(10-1) (10平方-1) (10三方-1) ........(10的n次方-1)
=(10 10平方 10三方 ........10的n次方)-n
=[10(10的n次方-1)/10-1]-n(代等比級數公式)
=[10(10的n次方-1)/9]-n
就是這樣
沒有很詳細 不好意思

2007-10-28 16:17:51 補充：
最後要自己乘開