sigma 基本解法 應該算簡單 兩題

Question

試求總和=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+‧‧‧+(n-1)*2+n*1=？
試求總和=1+(1+2)+(1+2+3)+‧‧‧+(1+2+3+‧‧‧+50)=？


問題處：看不出有什麼漂亮的解法。

兩位都打太快了，能不能深入解釋阿!

Answer 1

首先，要知道兩個基本公式：
範圍都是「k=1到n」
Σk=n(n＋1)/2
Σk^2=n(n＋1)(2n＋1)/6


1*n＋2*(n-1)＋3*(n-2)‧‧‧ (n-1)*2＋n*1

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/119371997155/



1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)‧‧‧(1＋2＋3‧‧‧50)
=50個1＋49個2＋48個3＋47個4＋‧‧‧＋2個49＋1個50


所以它的形式和上面那個一樣，可以以n=50代入總和公式n(n＋1)(n＋2)/6中，
得到總和為50(50＋1)(50＋2)/6=22100。

Answer 2

試求總和=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+‧‧‧+(n-1)*2+n*1=？
解: 1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+‧‧‧+(n-1)*2+n*1
=Σk(n+1-k) ……. (上n)(下k=1)此題都是不再重複，找規則
=Σ[k(n+1)-k2] ……分配律
=Σ[(n+1)k]-Σk2 …….公式Σ (ak+bk)= Σak+Σbk (k=1到n)
=(n+1)Σk-Σk2 ……. 公式. Σck=cΣk，(k=1到n)
=(n+1)*[n(n+1)/2]-[n(n+1)(2n+1)/6 ]….公式Σk=1+2+…+n=n(n+1)/2，Σk2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，(k=1到n)
=[3(n+1)n(n+1)/6] -[n(n+1)(2n+1)/6 ] …..通分，再相減
=n(n+1)(n+2)/6
答: n(n+1)(n+2)/6

試求總和=1+(1+2)+(1+2+3)+‧‧‧+(1+2+3+‧‧‧+50)=？
解: 1+(1+2)+(1+2+3)+‧‧‧+(1+2+3+‧‧‧+50)
=1*50+2*49+3*48+…..+50*1
和上題類型一樣，代入結果
n(n+1)(n+2)/6
=50*51*52/6
=22100
答:22100

Answer 3

原式等於: sigma(sigma n)=sigma[n(n+1)/2]
=1/2sigma(n^2+n)=1/2[sigma(n^2)+sigma(n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]=n(n+1)(n+2)/6
所以第二題等於 50(51)(52)/6=22100

2007-10-30 13:54:20 補充：
sigma(n^2)=n(n+1)(2n+1)/6=1^2+2^2+3^2+.....+n^2 ^2表示平方
sigma(n)=n(n+1)/2=1+2+3+......+n
此二者皆為公式一定要背,若要解釋請看課本
第一式=有n 個1加上(n-1)個2加上(n-2)個3加上......加上1個n=第二式
所以用sigma 1到n再sigma 1到n, 先算括號內的sigma求出等於 n(n+1)/2
再利用sigma的運算方式求出最後結果