數學 求餘數 計算

Question

下列何者是3^100 除以10的餘數？

(A) 3 (B) 9 (C) 7 (D) 1 (E) 0

求解題過程，請大大幫忙，感恩：）

「所以尾數為 1，餘數也會為1」

這邊我不太懂，跟除以10有關係嗎？

感謝 Nuee 大大的說明，對於這題我總算清楚多了，

另外關於同餘的部份，我還是不太明白，

假設題目是 4^60 mod 23 利用同餘該怎麼解題呢？

Answer 1

下列何者是3^100 除以10的餘數？
(A) 3 (B) 9 (C) 7 (D) 1 (E) 0
求解題過程，請大大幫忙，感恩：）

因為不時曉得你的程度為何，所以要回答這一題，現在真的都會覺得很為難。

如果用同餘的做法，真的簡單到不行，可是很怕版主看不懂!

這種題目基本上有兩種做法。

第一種就是找規律法。

3^1=3 /10 餘 3
3^2=9 /10 餘 9
3^3=27 /10 餘 7
3^4=81 /10 餘 1
3^5=243 /10 餘 3
3^6=729 /10 餘 9
3^7=2187 /10 餘 7
.
.
.
3^4n /10 餘 1
3^4n+1/10 餘 3
3^4n+2 /10 餘 9
3^4n+3 /10 餘 7

也就是每4次，一個循環。

100/4=4*25

所以3^100=3^(4*25) 除 10餘 1

第二種做法 就是 同餘的方法

3^100 mod 10
≡(3^4)^25 mod 10
≡(81)^25 mod 10 (3的4次方是81)
≡1^25 mod 10 ( 81 除以 10 餘 1)
≡1 mod 10 (1 的 25 次方 還是 1， 1 除 10 餘 1。 )

所以答案是 餘 1

同餘的好處是不用找規律，只要比10大，也不一定要10，只要是除數就可以了，扣掉就好了。也就是說 11 21 31 91 都沒關係 除以 10 通通餘 1。而且也適合 乘法 如 12*16 餘 多少 如
12*16 mod 10
≡2*6 mod 10
≡12 mod 10
≡2 mod 10
以上是例題


所以答案(D) 1


不懂請問!

2007-10-19 12:46:10 補充：
小路 也來 了!

2007-10-22 17:12:30 補充：
假設題目是 4^60 mod 23 利用同餘該怎麼解題呢？
4^1=4 mod 23 =4
4^2=16 mod 23 =16
4^3=64 mod 23 =18
4^4=256 mod 23 =3

2007-10-22 17:12:51 補充：
4^60
=(16)^30
=(256)^15 也就是只看餘數就好.
≡(3)^15 因為256除23餘3, 直接寫3就好了.
=(3^3)^5
=(27)^5
≡(4)^5 因為27除23餘4, 直接寫4就好了.
=(4)^4*4
=(256)*4
≡(3)*4
≡12

2007-10-22 17:13:57 補充：
所以就是餘12. 如果有看不懂的地方,就再問吧!

也建議你在知識+,搜尋一下"同餘",就會有很多參考資料.

Answer 2

3^100次方 先找規律
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
.
.
.


尾數3.9.7.1.3.9.7.1..一直循環

每四個數循環一次

所以 100/4=25(剛好整除)
整除就是代表循環的最後一數1

最候題目問 3^100 除以10的餘數?
已知最後的數目是1
所以當 整個數除以 10 還是1

例如 12341/10=1234...1 的道理是一樣的

Answer 3

3^100 除以 10 的餘數

不就是等於

3^100 的個位數的數字

Answer 4

1除以10餘1, 2除以10餘2, 3除以10餘3, 4除以10餘4, 5除以10餘5,
6除以10餘6, 7除以10餘7, 8除以10餘8, 9除以10餘9, 10除以10餘0,
11除以10餘1,12除以10餘2.......

Answer 5

3^100次方
去找規律，不管幾次方都一樣
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
3^6=729

尾數3.9.7.1.3.9.7.1.............一直循環

每四個數循環一次

100/4=25...0

所以尾數為 1，餘數也會為1
答案為(D)