虛數的幾個問題`高1

Question

若z1,z2均為複數,下列何者正確
1. (z1+z2)得共軛複數=z1的共軛複數+z2的共軛複數
2.z1=z2的共軛複數 則z1+z2會落在實軸
3.z1xz2=0 則z1=0或z2=0
4.若|z1|=1 則z1=±1
5.若|z1|=|z2| 則z1=z2或z1=-z2


已知複數z的實部為2 而1/z的虛部為1/4 求z


設-2-i是實係數方程式ax^3-11x+b=0求a,b

謝謝~~~

Answer 1

1. (z1+z2)得共軛複數=z1的共軛複數+z2的共軛複數
對,
你把 z 設成 x+yi, z的共軛複數為 x-yi,
代進去驗證即可,

2.z1=z2的共軛複數 則z1+z2會落在實軸
對,
z1,z2 互為共軛複數,虛部相反,所以相加後即為實數,

3.z1xz2=0 則z1=0或z2=0
對,
如果兩個都不為0,相乘後也不會等於0,

4.若|z1|=1 則z1=1
錯,
在複數平面上來看, | z | 代表 z 和原點的距離,
所以 | z1 | = 1, z1 可能值為以原點為圓心的單位圓上任一點,
有無限多解,
5.若|z1|=|z2| 則z1=z2或z1=-z2
同上題, | z1 | = | z2 | ,表示他們和原點距離相等,
是在以原點為圓心的圓上,並不一定相等或為相反數,


已知複數z的實部為2 而1/z的虛部為1/4 求z

設 z= 2+yi, 1/z= 1/(2+yi) = (2-yi)/(4+y^2),虛部為 -y/(4+y^2),
-y/(4+y^2)= 1/4 ,解得 y= -2,所以 z= 2-2i,

設-2-i是實係數方程式ax^3-11x+b=0求a,b
實係數,所以虛根必成對出現,另一根為 -2+i,
又由根與係數關係,得三根為0,所以第三根為 4,
這三根所成方程式為 (x-4)(x-(-2-i))(x-(-2+i))=0,
展開後得 x^3 - 11x -20 = 0,所以 a=1,b=-20.



2007-10-11 00:13:44 補充：
"又由根與係數關係,得三根為0,所以第三根為 4,"

得三根和為0.

Answer 2

1. 1,2,3為正確,
4的反例為(-1+根號3i)/2,
5的反例為l(-1+根號3i)/2l=l(-1-根號3i)/2l=1,
但(-1+根號3i)/2不等於(-1-根號3i)/2也不等於-(-1-根號3i)/2
2.設z=2+ai,1/(2+ai)=(2-ai)/(4+a^2)其虛部為(-a)/(a^2+4)=1/4,
交叉相乘得a^2+4=-4a,a^2+4a+4=0=(a+2)^2, a=-2, z=2-2i
3. -2+i也是一根,所以[x-(-2-i)][x-(-2+i)]=x^2+4x+5為原式的因式,
用長除法算(ax^3-11x+b)/(x^2+4x+5)可整除,比較係數後可得
a=1,b=-20