長寬要如何成比例?

Question

欲使一矩形裁去一以寬為邊長的正方形之後，形狀和原來的矩形相似，則矩形的長、寬比為多少？

求解與做法，感激不盡。

Answer 1

設常為X,寬為Y,a=X:Y=X/Y
新的長方形:長為Y,寬為X-Y
X:Y=Y:(X-Y)
X/Y=Y/(X-Y)
倒數
Y/X=(X-Y)/Y=X/Y-1
1/a=a-1
a^2-a-1=0
a=(1+-√5)/2(負的不合)
所以長、寬比為=(1+√5)/2

2007-10-07 21:50:59 補充：
√5近似於2.24
所以所以長、寬比為=(1+√5)/2 近似於(1+2.24)/2=1.62

Answer 2

設原矩形長8，寬X..............(為了易懂、計算方便，長設為數字8)
裁去後，長為X，寬8-X
因兩矩形相似，故長:寬=長:寬
8:X=X:8-X，X^2+8X-64=0，X=4√5-4=4(√5-1)

長:寬=8:X=8: 4(√5-1)=2: (√5-1)
=2(√5+1): (√5- 1)( √5+1)…前後項同乘以(√5+ 1)
=2(√5+1):4 ……計算後項
=(√5+1):2 ………前後項同除以2
A: (√5+1) : 2

Answer 3

這就是有名的黃金比例