abc-ab-bc-ac-a-b-c+1=0,求a,b,c?

Question

abc-ab-bc-ac-a-b-c+1=0,求a,b,c
條件:
-a小於等於b小於等於c
-a,b,c皆為正整數

如果有詳細做法更好,然後越簡單越好,拜託囉~~~

a,b,c都是正整數喔
上面那個是項目符號...

事實上我已經找到三組答案了(用繪圖計算機)
得到的結果---
(2,4,13)
(2,5,8)
(3,3,7)

To 003:
為什麼要設a-1=2?

Answer 1

原式=(a-1)(b-1)(c-1)-2a-2b-2c+2=0,
(a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c-1),因為a,b,c皆為正整數所以(a+b+c-1)大於等於2
令a-1=2,a=3,)(b-1)(c-1)=3+b+c-1=b+c+2,bc-2b-2c-1=0=(b-2)(c-2)-5
(b-2)(c-2)=5=5*1,又b小於等於c,所以b-2=1,b=3,c-2=5,c=7
a=b=3,c=7

2007-10-03 10:46:47 補充：
對不起,我因時間關係沒有考慮周詳a-1也有可能等於1,如此a=2,
(b-1)(c-1)=2(2+b+c-1)=2b+2c+2=bc-b-c+1,bc-3b-3c-1=(b-3)(c-3)-10=0
b-3=1,c-3=10.b=4,c=13或b-3=2,c-3=5,b=5,c=8.
至於有人問為何a-1為何不能等於4,因為a=5帶入後無法用十字交乘法解出2bc-3b-3c2-2=0的b,c整數解(a-1=6,8,10等等亦同)

2007-10-04 16:26:55 補充：
請恕小弟學疏才淺,我試著用奇偶數的觀念帶入仍無法解釋何以其他數字不行,多謝指教,也請其他專家或高手解答

Answer 2

GONG:

你要怎麼證明 除了a-1=2這組解外不會有其他解?

也許2(a+b+c-1)可以等於4*7*8之類的

所以a-1也可以等於4之類的~?

雖然確實只有這組解拉，用估計跟判別式的方法可以得出

不過邏輯過程怪怪的，這樣好像變猜測解法

2007-10-03 19:35:33 補充：
GONG:

您說:

不能用十字交乘法得出因式分解所以沒有正整數解



那原本的題目很顯然的也不能因式分解成(a-3)(b-3)(c-7)

所以原本題目也沒有正整數解囉?但(3,3,7)正是其中一組解阿~

就像ab+a-3b-1=0，也不能因式分解

但是a=3,b=1是他一組解

抱歉不是故意要找你碴

只是我覺得您的邏輯過程不太嚴謹

Answer 3

設a為-1,b,c為1
abc-ab-bc-ac-a-b-c=-1
-1+1-1+1+1-1-1=-1
ANS:a為-1
b為1
c為1




對嗎

Answer 4

a<=b<=c

13, 4, 1
不合

Answer 5

土法練鋼法

假設C=1..結果ab-ab-b-a-a-b=0…不可能
假設C=2..結果2ab-ab-2b-2a-a-b-1=0…有可能喔…
整理一下…變成ab-3b-3a-1=0
再整理一下…a(b-3)=3b-1
a=(3b-1)/(b-3)
b代4
a就會求得13了

答：a=13、b=4、c=1