高一五題數學問題

Question

Ｐ（ｔ，０）到兩定點Ａ（４，７），Ｂ（－１，２）的距離和最小值。



平面上Ａ（２，４），Ｂ（４，８），Ｃ（９，０）３點，若Ｐ使ＰＡ線段平方＋ＰＢ線段平方＋ＰＣ線段平方的值最小，則Ｐ座標為三角形的＿＿＿＿心？



三角形ＡＢＣ三頂點（５，－１），（１，７），（－３，５）則三角形ＡＢＣ外心座標為？外接圓半徑？



設Ａ（１，７），Ｂ（２，５）且三角形ＡＢＣ垂心座標（４，０），則Ｃ＝？



Ａ（５，－３），Ｂ（２９，４），Ｃ（２，１），三角形ＡＢＣ中，求過Ａ的角平分線方程式為？



請附算式，我不要只有答案ˇ
謝謝ˇ

Answer 1

1.P在X軸上,以X軸為對稱軸,B(-1,2)對應到B'(-1,-2),AB'連線交一點於X軸上,此點與兩定點的距離即為最小值,AB'的平方=(4-(-1))的平方+(7-(-2))的平方,最小值為根號106
答:根號106
2.到三頂點等距離時為最短,所以
答:P為外心
3.
(1)外心為三中垂線的交點,
第一步:AB的中垂線方程式:AB中點M和另一點N(x,y)的直線方程式(MN斜率必須和AB斜率乘積為-1)
M:(5+1)/2,(-1+7)/2=(3,3)
AB的斜率:-2,所以MN的斜率:1/2
所以MN的方程式:y-3=1/2(x-3)→x-2y=-3
第二步:BC的中垂線方程式:BC中點O和另一點P(x,y)的直線方程式(OP斜率必須和BC斜率乘積為-1)
O:(1-3)/2,(7+5)/2=(-1,6)
BC的斜率:1/2,所以OP的斜率:-2
所以OP的方程式:2x+y=4
第三步:聯立x-2y=-3,2x+y=4
x=1,y=2即為外心座標
(2)外接圓半徑為(1,2)和ABC三點的距離相等,為5
答:(1)(1,2)
(2)5

因為我現在是電腦課,時間到了,最後兩題我回家再算給你看.

Answer 2

1.Ｐ（ｔ，０）到兩定點Ａ（４，７），Ｂ（－１，２）的距離和最小值。
Ans: AB 的直線方程式為
y-2=(2-7)*(x+1)/(1-4)
=5(x+1)/3
=>3y-6=5x+5
=>5x-3y+11=0
當 P 在AB 上,有最小值,
=>y=0 時,有解x=-11/5
即 P點座標為 (-11/5,0)
其和最小值=AB=√((-1-4)^2+(2-7)^2)
=5√2
2.
平面上Ａ（２，４），Ｂ（４，８），Ｃ（９，０）３點，若Ｐ使ＰＡ線段平方＋ＰＢ線段平方＋ＰＣ線段平方的值最小，則Ｐ座標為三角形的＿＿＿＿心？
Ans: 外心,因距各點都相等,其最小二乘方為最小(即AP,BP,CP 與三線段平均值之差的最小二乘方最小=0).


3.三角形ＡＢＣ三頂點（５，－１），（１，７），（－３，５）則三角形ＡＢＣ外心座標為？外接圓半徑？
Ans:設 外心為 O
設 AB 的平分點為 D
則 D 座標為((5+1)/2,(7-1)/2)
=(3,3)
OD 的斜率=-(1-5)/(7+1)
=1/2
OD 的方程式為
Y-3=(x-3)/2….(1)
設 BC 的平分點為 E
則 E 座標為((1-3)/2,(7+5)/2)
=(-1,6)
OE 的斜率=-(-3-1)/(5-7)
=-2
OE 的方程式為
Y-6=-2(x+1)….(2)
解(1) 與 (2) 的方程式
3+(x-3)/2=-2x+4
=>x+3=-4x+8
=>5x=5
=>x=1….(3)
代入 (2) 式
=>y=-4+6=2
因此 座標 (1,2) 為所求
外接圓半徑=AO=BO=CO
=√((2+1)^2+(1-5)^2)=5
Ans:外心座標為(1,2), 外接圓半徑=5
4.設Ａ（１，７），Ｂ（２，５）且三角形ＡＢＣ垂心座標（４，０），則Ｃ＝？
Ans:設 垂心為點 H,
則 CH 必垂直於 AB .
因與 AB 垂直,因此其斜率=-(2-1)/(7-5)
=1/2
則 CH 的方程式為
y-0=(x-4)/2
=>2y=x-4

5.Ａ（５，－３），Ｂ（２９，４），Ｃ（２，１），三角形ＡＢＣ中，求過Ａ的角平分線方程式為？
計算 AB 線段=√[(29-5)^2+(4+3)^2]=25
AC 線段=√[(2-5)^2+(1+3)^2]=5
今在 AB 線段上取一點 D
使 AD=AC =>C 點座標為
X 座標=5+5*(29-5)/25=5+24/5=49/5
Y 座標=-3+5*(4+3)/25=-3+7/5=-8/5
在 CD 線段上取中點 E
則 E 點坐標=((2+49/5)/2,(1-8/5)/2)
=(59/10,-3/10)
則AE為所求,因角平分線垂直平分等腰三角形.
斜率= (-3/10+3) / (59/10-5)
=(27/10)/(9/10)=3
Y+3=3(x-5)=3x-15
Ans: Y=3x-18 為所求

2007-10-04 09:01:31 補充：
抱歉:第四題忘了做完!
承上 CH 方程式 2y=x-4 …(1)
因 AH 的斜率=-7/(4-1)=-7/3
=>BC 斜率=3/7
=>BC 方程式為
y-5=3(x-2)/7
=>7y=3x+29…(2)
解 (1) 與 (2) 聯立方程式
(2)-(1)*3
=>y=41
=>x=2y+4=86
Ans: C(41,86)

2007-10-11 18:39:39 補充：
我是 carey,第四題最後答案又把 X,寫相反 應是 C(86,41)
另外請問楊過先生,你的第五題由簡易畫圖就可知你的答案可能有錯.

2007-10-11 19:16:01 補充：
第一題的答案,楊過先生是對的,我是錯的(一時想錯).

Answer 3

每一題計算過程都很長希望以後可以一題一題來問