關於ln的微分之問題

Question

y ＝ ㏑( x3 ＋ 2x ＋ 1 )

y’ ＝ 1 / ( x3 ＋ 2x ＋ 1 ) * D ( x3 ＋ 2x ＋ 1 )

y’ ＝ ( 3x2 ＋ 2 ) / ( x3 ＋ 2x ＋ 1 )

以上資料為小路的部落格之資料，借用一下囉!!謝謝

請問為什麼會這樣子啊!!完全不懂!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

那為什麼d(ln[x])/dx=1/x，對不起喔~~我比較笨~~可以跟我解釋嗎~

Answer 1

Please look at the picture.

I hope that you can realize.

圖片參考：http://img515.imageshack.us/img515/6671/92005661mg6.jpg


2007-09-29 17:23:12 補充：
Sorry, the degree 2 doesn't input. Please you catch up on.

y'=(3x^2＋2)/(x^3＋2x＋1)

Answer 2

ln x 微分是 1/x 的證明, 大一微積分課本應該都有.
嚴謹的證明是: (很短, 只要一行就完成了)
根據正式的 ln x 的定義, 即 f(t) = 1/t 由 t=1 積到 t=x,
再由微積分基本定理, 馬上得到 1/x.
其實, ln x 本來就可以想成是: 為了有一個微分結果是 1/x
而定義出的函數. (後來, 發現 ln x 的反函數, 竟然是一個指數函數.)
(這部分是用高中數學沒辦法把指數和對數講清楚的地方, 是大一微積分中,
非常精彩的章節.)
原題的解, 必需再用到合成函數的微分公式, 即 Chain Rule (連鎖法則).
簡當的說, f(u)=f(g(x)) 對x的微分是 g'(x) 乘上 f'(u).
譬如, x 是日圓, 則美金 f 對日圓 x 的匯率 (求比率即微分) 是:
台幣 u 對日圓 x 匯率 乘以 美金 f 對台幣 u 匯率.
原題中, f(u) 是 ln u 且 g(x) 是 x^3+2x+1,
故, 答案是 [1/u] 乘 [(3x^2)+2], 即 [1/(x^3+2x+1)]*[(3x^2)+2]
建議: 先找書, 或找對人問,
把 Chain Rule 先搞清楚, 就會知道這一題是 Chain Rule 的簡單例子.
話說回來, 大一數學好像沒有微分題目是不簡單的. 都是直接用公式.

Answer 3

雁行 ( 初學者 4 級 )
ln[x]的微分是1/x，1/x的積分是ln[x]?
1/x的積分是ln[x]+c吧！
不定積分還有常數啊~
既然不是鎖定範圍的定積分就不該忽略c

Answer 4

果然每個人都有自己的(打字)風格

2007-09-29 13:37:51 補充：
↑那是你站在微積分的角度思考

很多工程數學的書籍，認為這是常識，所以沒那麼嚴謹

例如：某些時候Ｃ不寫，但最後再補上去，滿足ｎ階微分ｎ個未定係數即可

例如：ｌｎ不加絕對值，讀者自己知道就行了

例如：在畫分段連續的圖，它也沒有在斷點畫圈圈

等等 ...

Answer 5

這是連鎖律
解這個你要先知道兩個前提
1.d(ln[x])/dx=1/x，也就是ln[x]的微分是1/x
2.連鎖律

如果今天有一個變數t，它內含x變數
那麼如果有一個函數f(t)
我們要對他微分，可是不是對t，是對他的隱藏的x來微分
也就是
d( f(t) ) / dx =( d( f(t) ) / dt ) * ( dt / dx )
f(t)要先對它的變數t微分，再乘以t對x微分
了解這兩項以後

-----------------------------------------------------------------------
y=ln(x^3+2x+1)
令x^3+2x+1=t
y=ln(t)
要求dy/dx=dy/dt*dt/dx
dy/dt=d(ln(t))/dt=1/t=1/(x^3+2x+1)
dt/dx=d(x^3+2x+1)/dx=3x^2+2

所以dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/(x^3+2x+1) * ( 3x^2+2 )
=( 3x^2 ＋ 2 ) / ( x^3 ＋ 2x ＋ 1 )

2007-09-29 01:06:21 補充：
d(ln[x])/dx=1/x，這個樓下有證明了，我也沒有背XD
到後來都用背的了
ln[x]的微分是1/x，1/x的積分是ln[x]

Answer 6

難怪, 我看到那 "間隔", "字體", "符號", ......

都很像是我打的.

2007-09-28 21:47:01 補充：
要出去忙了, 沒人告訴你的話, 明天再告訴你.

祝好運!

2007-09-28 21:49:29 補充：
D㏑u ＝ 1 / u * Du

Answer 7

對　y ＝ ㏑( x3 ＋ 2x ＋ 1 )　
　它是個合成函數由f(x)=ln x , g(x)=x^3 ＋ 2x ＋ 1
　y=f(g(x))
y'=f'(g(x))*g'(x)，又f'(x)=Dlnx=1/x
故y'= 1 / ( x3 ＋ 2x ＋ 1 ) * D ( x^3 ＋ 2x ＋ 1 )
也就是先對ln微分，後再乘（x^3 ＋ 2x ＋ 1)的微分
D ( x^3 ＋ 2x ＋ 1 )=3x^2+2
故y'＝ ( 3x2 ＋ 2 ) / ( x3 ＋ 2x ＋ 1 )