高一數學題目

Question

一.若1≤x≤5為│x-a│≤b之充要條件,則數對(a,b)=
(要算式)



二.是非題
設a,b∈R,若a+b為有理數,ab為無理數,則a-b為無理數(要算式)

Answer 1

1≤x≤5←→│x-(1 5)/2│≤(5-1)/2
用距離的觀念比較好想
因為x在1和5之間，所以x跟(1和5中點的距離)絕對不會超過(1和5距離的一半)
│──│──│
１　　３　　５
︶ ２ ︶
│x-3│≤ 2

答：(a,b)=(3,2)


若q則p←→若非p則非q
因此可以用反證法
假設a-b為有理數
根據有理數四則運算的封閉性可以導出a,b皆為有理數
﹝(a-b) (a b)﹞/2=a 所以a為有理數
﹝(a b)-(a-b)﹞/2=b 所以b為有理數
則ab為有理數 與前提矛盾
所以假設不合
所以a-b為無理數

Answer 2

1. -b≤x-a≤b, a-b≤x≤a+b, a-b=1,a+b=5, a=3,b=2
2. let a=2-根號2, b=1+根號2, a+b=3, ab=根號2, a-b=1-2根號2為無理數

Answer 3

您好
第一題
│x-a│≤b
=>-b≤x-a≤b
=>-b+a≤x≤b+a
所以a-b=1，a+b=5
因此解聯立便可得到
=>a=3，b=2

第二題
有理數定義：就是可以表示一個整數分數q/p，其中p、q都是整數，p不等於0
有理數+-有理數一定是有理數
無理數+-無理數也有可能是有理數(例如[根號2]-[2+根號2])
有理數+-無理數一定是無理數
case1
a是有理數，b也是有理數！
因此a+b和ab還有a-b都應該為有理數，所以錯誤！
例如；3+5=8，3*5=15，3-5=-2

case2
a是有理數，b不是有理數！
因此a+b和a-b都應該為無理數，至於ab有可能是無理數也有可能是有理數，所以錯誤！
例如；a=3，b=根號2；a+b=3+根號2，a-b=3-根號2：ab=3根號2；
假使a變成0，b不變；那麼a+b=根號2，a-b=根號2：ab=0

case3
a不是有理數，b是有理數！
同於csae2，只是顛倒過來，所以便不多說！

case4(理論&想法)
a和b都不是有理數
因此他們都一定有無理數的部分，卻可以變成有理數，這就代表他門無理數的地方互為相反數！此外相乘卻不是有理數，這就表示他們其中之一至少有有理數這個部分！
[請注意]
這題只能用case4還有case2的一部分來想，因為我門先前條件是“若a+b為有理數,ab為無理數”，然後再問“a-b為無理數”這個問題，能滿足前面條件也只有case4！

先看看case2的特例，一定要一個為0，另一個為無理數，因此此兩數相減一定為無理數！

再看看case4的例子(計算過程)
假設a=a1+a2，其中a1為整數，a2為無理數
假設b=b1+b2，其中b1為整數，b2為無理數
a+b=(a1+b1)+(a2+b2)為有理數
因為a1+b1是有理數，所以a2+b2也是要有理數，因此a2+b2=0，
a2=-b2
a*b=(a1b1-(b2)^2)+(a1b2+a2b1)為無理數，ok！
[因為(有理數)+-(無理數)]
最後我們看看a-b=(a1-b1)-(2b2)為無理數，ok！
[因為(有理數)+-(無理數)]

最後，綜合以上所有的可能性，接著計算的證明，此命題是對的，答案圈圈圈...