簡單的數學計算(((要計算過程)))

Question

1.x=1+22+333+.....+999999999,則x除以9的餘數為?
2.xy=3x-2y+10的整數解有幾組?
3.n為自然數,若n^4-6n^2+25為質數,則此數為?
4.若n屬於自然數且n>1並滿足根號n^2+9n+7屬於自然數,則n=?

Answer 1

1.x=1+22+333+.....+999999999,則x除以9的餘數為?
x≡1^2+2^2+3^2+…+9^2 mod 9
x≡9*(9+1)*(2*9+1)/6 mod 9
x≡9*10*19/6 mod 9
x≡3*5*19 mod 9
x≡3*5*1 mod 9
x≡15 mod 9
x≡6 mod 9
答:餘6

2.xy=3x-2y+10的整數解有幾組?
xy-3x+2y-6=10-6
x(y-3)+2(y-3)=4
(x+2)(y-3)=4
-4,-2,-1,1,2,4
x+2=-4
x=-6, y-3=-1, y=2
x+2=-2
x=4, y-3=-2, y=1
x+2=-1
x=-3, y-3=-4, y=-1
x+2=1
x=-1, y-3=4, y=7
x+2=2
x=0, y-3=2, y=5
x+2=4
x=2, y-3=1, y=4
(x,y)=(-6,2),(4,1),(-3,-1),(-1,7),(0,5),(2,4)
答:6組(x,y)=(-6,2),(4,1),(-3,-1),(-1,7),(0,5),(2,4)

3.n為自然數,若n^4-6n^2+25為質數,則此數為?
n^4-6n^2+25=p
n^4+10n^2+25-16n^2=p
(n^2+5)^2-(4n)^2=p
(n^2-4n+5)(n^2+4n+5)=p
(n^2+4n+5)>(n^2-4n+5)>0
n^2-4n+5=1
n^2-4n+4=0
(n-2)^2=0
n=2
p=n^2+4n+5=4+8+5=17


答:p=17

4.若n屬於自然數且n>1並滿足根號n^2+9n+7屬於自然數,則n=?

令n^2+9n+7=k^2, n>1, k>0
n^2+9n+(9/2)^2-(9/2)^+7=k^2
4n^2+36+81-81+28=4k^2
(2n+9)^2-4k^2=53
(2n-2k+9)(2n+2k+9)=53
(2n+2k+9)>(2n-2k+9)
2n-2k+9=1
2n+2k+9=53
4n+18=54
4n=36
n=9

答n=9

2007-09-03 19:53:02 補充：
更正
x+2=-2
x="-4", y-3=-2, y=1
(x,y)=(-4,1)
負號漏掉了!

2007-09-03 19:56:01 補充：
1.x=1+22+333+.....+999999999,則x除以9的餘數為?
除以9的餘數=所有數字和除以9的餘數。

1^2+2^2+3^2+.....+(n-1)^2+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1.若你看不懂Nuee的解答或不知1^2 2^2 ...的公式則可用:
數字和加起來為9的數即為9的倍數,因此333,666666,999999999此三個數為9的倍數不用管他,
1+22+4444+55555+7777777+88888888=1+4+16+25+49+64(數字和,例如:22:2+2=4,4444:4+4+4+4=4*4=16...)=159,1+5+9=15,1+5=6所以餘數為6