數學 乘法公式和相關問題

Question

1.試求實數K的範圍，使方程式2x^2-5x+K=0 有兩實根

2.設a,b為方程式x^2+5x-1=0的兩根，試求下列各式的值：
(1)a^2+b^2
(2)a^3+b^3
(3)b/a+a/b
(4)(a-1)(b-1)
(5)b/a^2-1 + a/b^2-1

3.已知4a+3b+1的平方根為 正負6，3a+2b+1之一立方根為3，試求a,b之值

4.若x^2+x+2=0，試求(x^2+x+1)^2 + 5(x^2+x+1)+2之值

Answer 1

1.用判別式(D)=b^2-4ac....

(不好意思..因為不知道你有沒有學過..所以打的囉唆點囉><..)

若 D>0 ===>有兩相異實數解
D=0 ===>有兩相同實數解(也就是「重根」)
D<0 ===>無實數解

所以題目說 有兩實根 意思就是 判別式(D)≧0

再來捏...就把D=b^2-4ac 代入啦..(a=2 b= -5 c=K)

==> (-5)^2- 4˙2˙K>0 & (-5)^2- 4˙2˙K=0
==> 25-8K>0 & 25-8K=0
==> 25>8K & 25=8K (用等量加法公理...)
==> 25/8>K & 25/8=K

(又或者你可以寫成 K<25/8 換個方向^___^..)

A： K<25/8 & K=25/8

(可以直接在<的符號下加一槓(變成小於等於)..因為我的打不出來)

2.我的算式有點複雜唷..ˊˇˋ..

先說一下 ... 若a.b為方程式之解..則.. ab=-1 a+b=-5

解釋如下 ...x= a.b ===>(x-a)(x-b)=0

(反過來就是我們平常推出答案的式子囉..)

接下來捏...(x-a)(x-b)=0 (乘開來...)===> x^2-ax-bx+ab=0

=========>(結合一下)= x^2-(a+b)x+ab=0

接下來只要把題目的方程式代入就ok啦....就會推出..ab=-1 a+b=-5

再來就是解題啦..

(1)a^2+b^2=(a+b)^2- 2ab

(2)a^3+b^3=(a+b)^3-3xy(x+y)

(3)b/a+a/b=a^2+b^2/ab

(4)(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1

(5)b/a^2-1 + a/b^2-1=(b/a^2+ a/b^2)-2=( a^3+b^3/(ab)^2 )-2

(這些運算式子只是引導你的..可以自己試著想想看..^___^..

當你解出來的時候...會覺得很有成就感..這只是個小小建議..^^..)

3.先舉個例子好了..

(1)25的平方根等於多少？
(2)125的立方根等於多少？

解：(1)±5 (很簡單..5˙5=25 ..(-5)˙(-5)=25 ..)
(2)5 (要注意唷..只有5是唷..因為..5˙5˙5=125..
可是..(-5)˙(-5)˙(-5)=-125 (不合!!) )

所以囉...你知道4a+3b+1的平方根為±6 ====>4a+3b+1=6˙6=36

也知道3a+2b+1的立方根為3 ====>3a+2b+1=3˙3˙3=27

接下來解聯立 ^___^ ..答案就出來囉..

4.可以先想想 x^2+x+2 跟 x^2+x+1 有什關係？

是不是只要把 x^2+x+2 再減一就是 x^2+x+1 了呢？

所以說我們只要把題目說的 x^2+x+2=0 改造一下就ok啦..

======>(等號兩邊同減一) x^2+x+1=-1 再把x^2+x+1=-1代入就ok..

(這份神聖的工作就交給你囉^___^"...)

ㄜ...我只能告訴你 ...自己想久一點...多算一點...就會囉^^....

Answer 2

1.試求實數K的範圍，使方程式2x^2-5x+K=0 有兩實根
b^2-4ac ＞0 有相異實根
(-5)^2-4X2XK>0 →K<25/8
2.設a,b為方程式x^2+5x-1=0的兩根，試求下列各式的值：
方程式的根帶公式：-b+-根號b^2-4ac/2a
兩根為：-5+-根號29/4

(1)a^2+b^2
a^2=25+50根號29+29/4
b^2=25-50根號29+29/4
所以a^2+b^2 = 27
(2)a^3+b^3
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (-5)(27- (-1))=-140
(3)b/a+a/b
b/a+a/b=a^2+b^2/ab = 27/-1=-27
(4)(a-1)(b-1)
(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=-1-(-5)+1=5
(5)b/a^2-1 + a/b^2-1
b/a^2-1 + a/b^2-1 = a^3+b^3/(ab)^2-2 = 140/(-1)-2 = 138



4.若x^2+x+2=0，試求(x^2+x+1)^2 + 5(x^2+x+1)+2之值
Ans：
x^2+x+2=0 →x^2+x+1=-1 帶回原式
(x^2+x+1)^2 + 5(x^2+x+1)+2
→(-1)^2+5(-1)+2 = 1-5+2 = -2

2007-08-23 17:16:58 補充：
第五題更改一下因為分母我看錯了

(5)b/a^2-1 + a/b^2-1

b/a^2-1 + a/b^2-1
=(a^3+b^3-(a^2+b^2))/(ab)^2-(a^2+b^2)+1
=((-140)-27)/((-1)^2-27)+1
=27/5

Answer 3

1. (-5)^2-4*2*K=25-8K>0 K<25/8
2. a+b=-5, a*b=-1
(1) a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-5)^2-2*(-1)=25+2=27
(2) a^3+b^3=(a+b)^3-(3a^2*b+3a*b^2)==(a+b)^3-3ab(a+b)=(-5)^3-3*(-1)*(-5)=-125-15=-140
(3) 原式=(b^2+a^2)/ab=27/(-1)=-27
(4) 原式=ab-(a+b)+1=-1-(-5)+1=5
(5) 原式=(b^3-b+a^3-a)/[(a^2-1)(b^2-1)]=[(a^3+b^3)-(a+b)]/[(ab)^2-(a^2+b^2)+1]=[(-140)-(-5)]/[(-1)^2-27+1]=-135/(-25)=27/5
4. x^2+x=-2 (x^2+x+1)^2 + 5(x^2+x+1)+2=(-2+1)^2+5(-2+1)+2=1-5+2=-2

Answer 4

1. 利用判別式 大於等於零

=> 25 - 8K >=0 => K <= 25 / 8

2. 利用根和係數的關係 => a + b = - 5 ， a * b = - 1

(1) a^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab = 25 + 2 = 27

(2) a^3 + b^3 = ( a + b ) * ( a^2 - ab + b^2 ) = ( - 5 )* ( 27 + 1)

= - 140

(3) b / a + a / b = ( a^2 + b^2 ) / ab = 27 / ( - 1 ) = - 27

(4) (a-1)(b-1) = ab - ( a + b) + 1 = ( - 1 ) + 5 + 1 = 5

(5) b / ( a^2 - 1) + a / (b^2 - 1)

= ( b^3 - b + a^3 - a ) / ( a^2 - 1) (b^2 - 1)

= ( -140 + 5 ) / (ab)^2 - ( a^2 + b^2 ) + 1

= ( - 135 ) / 1 - 27 + 1

= 27 / 5

3. => 4a + 3b + 1 = 36
3a+ 2b + 1 = 27 解聯立

=> a= 8 ， b= 1

4. => x^2 + x + 1 = ( - 1 )

=> (x^2+x+1)^2 + 5(x^2+x+1)+2 = ( - 1 ) ^2 + 5 ( - 1 ) + 2 = - 2

Answer 5

ㄆ 我可以回答你3

解聯立 4a+3b+1=36 3a+2b+1=27

4a+3b=35 3a+2b=26

8a+6b=70 9a+6b=78

相減得到a=8 帶入任何一式b=1