想問幾題等差和等比數列的題目~

Question

1.設一等差數列第10項為39,第20項為76,求第12項?
2.設一等比數列首項為10,公比為-1/2,求此等比數列前八項的和?
3.設一等比數列首項為5 ,第n項為80,前n項的和是155,求n?
4.兩數列a1.a2....,b1.b2...,皆為等差數列,已知a1=25,b1=75,a100+b100=100,求數列a1+b1,a2+b2.....的前100項的總和?

p.s希望能有計算過程~謝謝~

Answer 1

設首項Ａｍ
等差公式
求第ｎ項：Ａｎ＝Ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ
求數列和：Ｓｎ＝［２Ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ］／２
等比公式
求第ｎ項：Ａｎ＝Ａｍ（ｒｎ－ｍ）
求數列和：Ｓｎ＝Ａｍ［（ｒｎ）－１］／（ｒ－１）

1.設一等差數列第10項為39,第20項為76,求第12項?
Ａ２０＝Ａ１０＋（２０－１０）ｄ
求ｄ
７６＝３９＋１０ｄ
１０ｄ＝３７
ｄ＝３.７
Ａ１２＝３９＋（１２－１０）╳３.７
　　　＝４６.４
2.設一等比數列首項為10,公比為-1/2,求此等比數列前八項的和?
Ｓｎ＝１０［（－１／２）８－１］／［（－１／２）－１］
　　＝１０［（１／２５６）－１］／（－３／２）
　　＝１０（－２５５／２５６）／（－３／２
　　＝（１０╳８５）／１２８
　　＝４２５／１２８
4.兩數列a1.a2....,b1.b2...,皆為等差數列,已知a1=25,b1=75,a100+b100=100,求數列a1+b1,a2+b2.....的前100項的總和?
因為a1. a2..，b1. b2 ....為等差數列
故知道"數列a1+b1,a2+b2....."必也為等差數列!!
將 a1+b1當作首項，將100a+100b當作末項
Sn=100 [( a1+b1)+(100a+100b)]/2
=100*(25+75)/2
=100*50
= 5000

有問題再問！！

2007-08-18 16:44:05 補充：
第３提忘了寫＝　＝

3.設一等比數列首項為5 ,第n項為80,前n項的和是155,求n?

Ａｎ＝Ａ１ ╳　ｒ^(n-1)次方

８０＝５╳ｒ^(n-1)

ｒ^(n-1)＝１６　　。。。（１）

→ｒ^ｎ＝１６ｒ

又

Ｓｎ＝Ａ１［（ｒ^ｎ）－１］／（ｒ－１）

１５５＝５［（ｒ^ｎ）－１］／（ｒ－１）

３１（ｒ－１）＝［（ｒ^ｎ）－１］

將ｒ^ｎ＝１６ｒ帶入

３１（ｒ－１）＝１６ｒ－１

１５ｒ＝３０

ｒ＝２　帶入（１）式

→　２^(n-1)＝１６

→　（ｎ－１）＝４

→　ｎ＝５


第２題答案騰錯

答案應為＝（１０╳８５）／１２８

　　　　＝４２５／６４

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

不好意思...不過這些東西我都沒學過~而且這不是功課
我今年才要升高一~這些是我自己想先學才問的~
希望你不要誤會

Answer 5

第一提
已知道第10項為39 第20項為76
因為等差數列 第10項為首項再加上9個公差
第20項為首項再加上19個公差
所以可以列式為
a1+9d=39
a1+19d=76

解聯立可得 d=3.7 帶回上面任一個式子
可以得到 a1=5.7
那麼知道首項跟公差就可以知道第12項
第12項= a1+11d= 5.7 +11*3.7 = 46.4 如果數據沒錯就是答案了


第二題

首項為10.公比為-1/2
那前8項的和可直接用公式帶
= 10*[1- (-1/2)的8次] / 1-(-1/2)
=425/64 (重要式子列出來.計算過程省略了)
所以答案就是 425/64


第三題

已知道首項為5.第n項為80 因為首項到第n項 要乘上n-1個公比
所以可以列式為 5* r的n-1次方=80
推得r的n-1次方=16
再來他說前n項的和為 155 = 5*(1- r的n次方) / 1- r
1- r 移到左邊整理 可得 155-155r = 5 - 5*r的n次方 ---第一式
剛剛知道 r的(n-1)次方為16
所以r的n次方 =16*r 帶回第一式
可以得到 155-155r = 5 - 5*16*r
在整理 155-155r = 5 - 80r
在整理 150 = 75r 得知 r = 2

因為 r 的 (n-1) 次方=16 所以 n-1 = 4 n就=5


第四題

已知道 a1=25 . b1=75 . a100+ b100=100
a100= a1 + 99個a1的公差

b100= b1 + 99個b1的公差

所以 a100+b100= a1+ b1 + 99個a1的公差 + 99個b1的公差
= 100 + 99個a1的公差 + 99個b1的公差
可得知 99個a1的公差 + 99個b1的公差 = 0

所以可以知道 a1與b2 的公差互為正負號

那麼所求 a1+b1,a2+b2.....,a100+b100
=100+(a1+b2+一個a1公差+一個b1公差) ...... a100+b100
=100+100+...........+100 (公差全部消掉)
=100*100
=10000

所以答案就是10000了

Answer 6

背公式主要是應付考試，建議你去理解公式，這幾題都還滿容易的，應該是你的作業吧，你可以考慮把不懂的地方提出來，不要想都沒想就把作業丟出來

Answer 7

若要算得快公式一定要背