Mostre que uma parábola S não pode ser um subespaço vetorial R2. S={(x,4px^2);xER} (p diferente de 0 é fixo)

Question

Mostre que fure a propriedade (ii) ou (iii).

Answer 1

Se S e.v. --> (0,0) é em S ¡Si!

pero se x=(x, 4px^2) --> k·x é em S ¡No!

Ex: (1,4p) é em S, (2,8p) nao é [ 8p=4p·4 ¿? <--> p=0 !!!)

Saludos.

Answer 2

Para que S seja um espaço vetorial, é necessário que a soma de 2 elementos de S esteja em S. Sejam v1 = (x, 4px^2) e v2 = (y, 4py^2) dois elementos de S. Então, v3 =v1 + v2 = (x + y, 4p(x^2 + y^2)). Se v3 estiver em S, então

4p(x^2 + y^2) = 4p(x1 + x2)^2. logo,

x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 => xy= 0,

de modo que precisamos ter x = 0 ou y = 0. Assim, a condição de que a soma de 2 vetores de S esteja em S só é satisfeita se pelo menos um dos vetores for (0,0). S não se resume ao vetor (0,0) e, se nem v1 e nem v2 forem o vetor nulo, então v1 + v2 não está em S. Logo, S não é um espaço vetorial.