數學不等式的問題

Question

已知a,b,c為三個正實數 且abc=1 試證明 : 1/根號(a+1/b+1/2) + 1/根號(b+1/c+1/2)+1/根號(c+1/a+1/2) >= 根號2

根號裡面是 三項 a,1/b,1/2 的和

----------- , 你的 過程中

3/{√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2) }1/3
>=3/{√(121/8)}1/3

這個大於好像有問題 應該是小於才對 可是小於就沒用了

Answer 1

首先由
abc=1
可得
ab+bc+ca>=3(abc)2/3=3
a+b+c>=3(abc)1/3=3
1/a+1/b+1/c>=3(abc)-1/3=3
1.
1/√(a+1/b+1/2) + 1/√(b+1/c+1/2)+1/√(c+1/a+1/2)
>=3/{√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2) }1/3
(根號直接乘開,再代入先前求的那些不等式值,因太多,請自行乘開)
>=3/{√(121/8)}1/3=3√2/(11)1/3 >√2
2.
令a=1/c(不管領哪二個都是一樣的結果)
b=1
則如
a-->∞
c-->0
則
1/√(a+1/b+1/2) + 1/√(b+1/c+1/2)+1/√(c+1/a+1/2)--> √2

由式1和式2可知,在常態下此式大於√2,在極端下等於√2.除此二種狀態,找不出第三種狀態!

2007-08-08 02:07:21 補充：
嗯!可能是你會錯意,我的意思是,例如令
l=1/√(a+1/b+1/2)
m=1/√(b+1/c+1/2)
n=1/√(c+1/a+1/2)
所以

l+m+n>=3(lmn)^1/3

這樣描寫你應該看得懂了吧!所以大於等於應該是正確的!

2007-08-08 02:14:36 補充：
喔!我也會錯你的意了!
3/{√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2) }1/3
>=3/{√(121/8)}1/3

√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2) 這式子你乘開以後,你可得的各式子是
a+b+c;ab+bc+ca;1/a +1/b +1/c ;abc等,前面那些式子都是大於等於3,只有
最後一式等於1

你取較大或等於的數,那它的倒數不是變小或等於嗎?

2007-08-08 02:32:09 補充：
a+b+c;ab+bc+ca;1/a +1/b +1/c ;abc

外還有

a/c +b/a +c/b>=3abc/abc=3

這個數一樣大於等於3

所以

√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2)

乘開後代入的常數都大於等於它

所以倒數就會變為小於等於

2007-08-08 02:43:32 補充：
令a=1/c(不管領哪二個都是一樣的結果)

這個有誤,應該只有令a=1/c,在

a-->∞

c-->0

才會等於√2

2007-08-08 02:50:10 補充：
哎!又誤判應該是
有以下幾組可得到等於√2

1.
a=1/c

a-->∞

c-->0

2.
c=1/b

c-->∞

b-->0
等還有幾組自己找了

2007-08-08 03:00:46 補充：
3/{√(a+1/b+1/2) √(b+1/c+1/2)√(c+1/a+1/2) }1/3
>=3/{√(121/8)}1/3

這個右式應該在乘開計算時有誤,因為等號成立應是

a=b=c=1

則右式應為

3/{√(125/8)}^1/3=3√2/√5>√2

你可自己算看看

Answer 2

請問一下

題是 1/根號(a+1/b+1/2) + 1/根號(b+1/c+1/2)+1/根號(c+1/a+1/2)

還是 1/根號[(a+1)/(b+1)/2] + 1/根號[(b+1)/(c+1)/2]+1/根號[(c+1)/(a+1)/2]

因為算出來的答案會不一樣