一題不等式

Question

已知 a,b,c為三個正實數 且 abc=1 .

證明 1+ 3/(a+b+c) >= 6/(ab+bc+ca)

Answer 1

問: 已知 a, b, c 為三個正實數且 abc ＝ 1.
證明 1 ＋ 3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 6 / ( ab ＋ bc ＋ ca )
解:
( 1 / a － 1 / b )2 ＋ ( 1 / b － 1 / c )2 ＋ ( 1 / c － 1 / a )2 ≥ 0
1 / a2 － 2 / ab ＋ 1 / b2 ＋ 1 / b2 － 2 / bc ＋ 1 / c2 ＋ 1 / c2 － 2 / ca
＋ 1 / a2 ≥ 0
2 / a2 ＋ 2 / b2 ＋ 2 / c2 ≥ 2 / ab ＋ 2 / bc ＋ 2 / ca
1 / a2 ＋ 1 / b2 ＋ 1 / c2 ≥ 1 / ab ＋ 1 / bc ＋ 1 / ca
1 / a2 ＋ 1 / b2 ＋ 1 / c2 ＋ 2 / ab ＋ 2 / bc ＋ 2 / ca ≥ 3 / ab ＋ 3 / bc ＋ 3 / ca
( 1 / a ＋ 1 / b ＋ 1 / c )2 ≥ 3 [( a ＋ b ＋ c ) / abc ]
[( bc ＋ ac ＋ ab ) / abc ]2 ≥ 3 [( a ＋ b ＋ c )
( bc ＋ ac ＋ ab )2 ≥ 3 ( a ＋ b ＋ c )
1 / [ 3 ( a ＋ b ＋ c )] ≥ 1 / ( bc ＋ ac ＋ ab )2
3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 9 / ( bc ＋ ac ＋ ab )2
1 ＋ 3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 1 ＋ 9 / ( bc ＋ ac ＋ ab )2
1 ＋ 3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 12 ＋ [ 3 / ( bc ＋ ac ＋ ab )]2
根據算式不等式 a2 + b2 ≥ 2ab
12 ＋ [ 3 / ( bc ＋ ac ＋ ab )]2 ≥ 2 * 1 * 3 / ( bc ＋ ac ＋ ab )
12 ＋ [ 3 / ( bc ＋ ac ＋ ab )]2 ≥ 6 / ( bc ＋ ac ＋ ab )
代回原式:
1 ＋ 3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 12 ＋ [ 3 / ( bc ＋ ac ＋ ab )]2 ≥ 6 / ( bc ＋ ac ＋ ab )
1 ＋ 3 / ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 6 / ( bc ＋ ac ＋ ab ) ＃得證