x+(1/x)=a, x>0,求 (Part II)

Question

x+(1/x)=a, x>0, n屬於N.
(1)


xn + (1/xn)=?


(2)


xn - (1/xn)=?
不可以用(根)代入的方法。
要用規律重複的方式做.

飯兄您試著從n=2,n=3,n=4,n=5做看看您自然會發現規律存在.
"孤獨的人"兄已經發現規律，只是還沒整理好。

孤兄感謝您，願意花這麼多時間，我想在來就是找數列的問題了。
也不曉得有沒有相關的文獻。無論如何我都謝謝您，願意花這麼多時間。

Answer 1

目前 我只打上 我發現的好了 因為還沒整理好通解

x+(1/x)=a
x^2+(1/x)^2=a^2-2 = b (讓他等於 b 之後比較好看一點)

推演的過程 其實就是直接把它拆開來看
當n 是奇數

n=3 就可以拆開成

[x+(1/x)][x^2+(1/x)^2]-[x+(1/x)]=a(a^2-2)-a= ab-a

n=5 就可以拆開成

[x^3+(1/x)^3][x^2+(1/x)^2]-[x+(1/x)]=ab(b-1)-a

n=7 就可以拆開成

[x^5+(1/x)^5][x^2+(1/x)^2]-[x^3+(1/x)^3]=[ab^2(b-1)-ab]-[ab-a]=a(b^3-b^2-2b+1)

然後勒 把 b 的係數 拿出來看 會發現
1
1 -1
1 -1 -1
1 -1 -2 1
1 -1 -3 2 1
1 -1 -4 3 3 -1
1 -1 -5 4 6 -3 -1

其實 我目前只到這部份 可以很簡單的看出來 正負的規則 以及前四項 的變化 我是推算 接下來 應該是
1 -1 -6 5 9 -6 -4 1 但是還沒驗算~~~(我推過直接用a來表示 他的數字更醜)

偶數的部份 我就還沒整理好 但是跟奇數大致上差不多 也是拆開來看

還有一種方式(這奇偶數都可以用) 我是利用二項式 去推

例如 n=5
[x+(1/x)]^5=[x^5+(1/x)^5]+5[x^3+(1/x)^3]+10[x+(1/x)]

雖然這當中的係數變化 跟巴斯卡三角形有關 但是會一下子 呈現大幅的變動 所以 規律性很不好找

目前就做到這 ~~(不知道有沒有論文是研究這個部份~~搞不好他可以變成組合論文的題目~~哈哈)

2007-07-27 17:21:48 補充：
忘記打上 那個拆法 不是固定的 怎麼拆都可以

還有 可以用這樣的方式來表示

x^2+(1/x)^2=a^2-2

x^3+(1/x)^3=a^3-3a

則
x^6+(1/x)^6=(a^3-3a)^2-2=(a^2-2)^3-3(a^2-2)

只是這些都不算通解~~~ 0.0|||

Answer 2

其實Victor大大，我知道用您的解答再加二項式推回去應該可以。其實我已老了，30年前的我一定會想辦法自己搞定，只是現在有點懶，想說往上一堆就解決了。事實上孤兄已經快達成了。或許可以試以下的方法。
an=x^n+(1/x^n)
a1=x+(1/x)....
an=(a1)((x^(n-1)-a(n-3)+/-(1/x^(n-1))分奇偶次方來討論，或許是一個方法。
a5=a2*a3-a1 或 a5=a1(a4-a3)等等或許可以。

Answer 3

x+(1/x)=a
若x＞0，則a＞2(算幾不等式)....這是必要的

如果x取值不加以限定，且-2≦a≦2
令x+(1/x)=a=2cost
=>cost=a/2
由棣美弗定理
x^n+(1/x)^n=2cosnt
x^n-(1/x)^n=±2i(sinnt)
再由棣美弗定理與二項式定理可將cosnt用a表示

Answer 4

Nuee你的求知精神讓人敬佩
直接整理是一定做的到的
如果你要找規則可以用我上次求根的結果　"逆推"

k=c^n+c^(-n) c=1/2*a+-1/2[a2-^2]^(1/2) 　

令b=[a2-^2]^(1/2) =>c=1/2*a+-1/2*b

=>k=[(1/2)^n]*[(a+b)^n] +- [(1/2)^(-n)]*[(a+b)^(-n)]

根據二項式定理
(a+b)^(n)=Sigma(k=1->n) {(a^k)*b(n-k)} 你可一"逆推"回去

Answer 5

x+(1/x)=a

(x^2+1)/x=a

x^2-ax+1=0

x=[a+-根號(a^2-4)]/2

你的a值未知

怎看的出規律??

2007-07-27 17:57:26 補充：
喔不了
我看到就累了....ㄏㄏ