x+(1/x)=a, x>0,求 x^n+(1/x^n)=?

Question

x+(1/x)=a, x>0, 求

(1)
xn + (1/xn)=?

(2)
xn - (1/xn)=?

n屬於N

因為每次大家都問，這樣的題目，像x+1/x=a, x-(1/x)=?, x^2+(1/x^2)=?
x^5+(1/x^5)=?, x^5-(1/x^5)=?等於有少等...，在求解的過程我就發現有規律，x^5+(1/x^5)=(x+1/x)(x^4-x^2+1-1/x^2+x^4)
=(x+1/x)((x^4+1/x^4)+1-(x^2+1/x^2),也就是所面的會由前面產生。
所以想一勞永逸，以後用n跟a表示出來。造福大眾。
而最近也沒有比較挑戰性的題目，所以讓大家腦筋動一動。

Victor有您的，真是造福大眾。已經驗算無誤。
可以請您有把 x^n-(1/x^n)的部份補齊
只要公式就好了。

有個不情之請，能不能把
x-(1/x)=b
x^n+(1/x^n)=?
x^n-(1/x^n)=?
打上來，只要公式就好。
真是造福大眾，我把公式套在Excel以後這種題目就交給它了。
如果各位沒有意見，我打算選Victor為最佳解答。再擺一天讓大家欣賞，Victor的大作。要聯考的同學記得把公式抄起來，會很方便。

孤兄如果您願意，是否可以把研究成果貼在意見欄，跟大家分享，謝謝!感謝您!

Victor這個做法等於只是把根直接代入，方法跟理論都沒錯，但要用筆算可能有困難，沒關係 答應最佳一定會給您。

如果孤兄或其他大大有發現規律的做法，在意見欄留下意見，我再開一個問題。

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507072604468

搬到這裡繼續。

Answer 1

(1) x>0=> x^n, x^(-n) 不會是虛數
當x+1/x=a
同乘x
　 => x^2-ax 1=0
=> x=1/2*a +-1/2*[(a^2-4)]^(1/2) (利用求根公式)
令 1/2*a +-1/2*[(a^2-4)]^(1/2)=c ------式(0)
=> x^n=c^n -------式(1 )


設　x^n+1/x^n=k
=>　x^n+1/x^n=x^n+x^(-n)=k
同乘x^n
　=>（x^n)^2-kx^n+1=0 (利用求根公式)
=> x^n= 1/2*k +- 1/2*[(k^2-4)]^(1/2) -------式(2)

式(1)=式(2)

=>c^n=1/2*k +- 1/2*[(k^2-4)]^(1/2)

=> k-2c^n= - 1/2*[(k^2-4)]^(1/2)

左右同時平方
　=> k*c^n=c^(2n)+ 1
=> k=c^n+ c^(-n) (將式(0)代入)

=> k={1/2*a+ -1/2*[(a^2-4)]^(1/2)}^n + {1/2*a +-1/2*[(a^2-4)]^(1/2)}^(-n)　----式(3)為答案

此處　k= x^n+1/(x^n) (上式已經完全用　a, n 表示)

我們可以檢查
　當n=1 => 代入式(3)檢查
k= x^n+1/x^n
=x+1/x
={1/2*a +-1/2*[(a^2-4)]^(1/2)} + {1/2*a +-1/2*[(a^2-4)]^(1/2)}^(-1)
=a　

(2)同理可求x^n-1/x^n

　

2007-07-26 07:59:26 補充：
謝謝阿宏:

那是筆誤 k-2c^n= - 1*[(k^2-4)]^(1/2)

你也知道在這敲數學公式 超悶的

k*c^n=c^(2n)+ 1 => k=c^n+ c^(-n) 是對的

不要再敲式子ㄌ

你就把題目改成 x^n+b/(x^n) 代一次

最後令 b=-1, +1 甚麼常數 都隨你

Answer 2

式(1)=式(2)

=>c^n=1/2*k +- 1/2*[(k^2-4)]^(1/2)

=> k-2c^n= - 1/2*[(k^2-4)]^(1/2)

這個式子這樣變化對嗎?好像不對.

Answer 3

好難的題目!

Answer 4

目前有發現到規律性~~~不過還沒整理好~~~