高中數學-互質的概念

Question

If (a,b)=1
then could I write down:

(a,a+b)=1
(b,a+b)=1
(ab,a+b)=1

Could I? Why?

Answer 1

證明前需要幾個觀念
1.因數和被數的線性組合
如果a|b且a|c則 a|bm±cn (m.n適任意整數)
2.公因數是最大公因數的因數
3.if(a,b)=1 then(a^n,b^n)=1



1. If (a,b)=1 then(a,a+b)=1

設(a,b)=1 then(a,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)
則
d|a d|a+(a+b)=2a+b d|2a+b d|(2a+b)+(-b)=2a
{ =>{ =>{ =>{
d|a+b d|a-(a+b)=-b d|-b d|(2a+b)-(-b)=2a+2b


=> d| (2a,2a+2b) (用到第2個性質把2提出來) =>d| (a,a+b)≠1

由d| (a,a+b)≠1得知 假設是對的 所以 If (a,b)=1 then(a,a+b)=1 是錯的

反而從d|2看出 d=1或2
所以應該是if (a,b)=1 then(a,a+b)=1or2

2. If (a,b)=1 then(b,a+b)=1
同上



3.If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1
設(a,b)=1 then(ab,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)
則
d|ab d|(a+b)×a-ab=a^2 d| a^2
{ =>{ =>{ =>d|(a^2,b^2)=1
d|a+b d|(a+b)×b-ab=b^2 d| b^2

由上証可知 d=1 和假設矛盾 故假設錯誤
If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1成立 得証





so
if(a,b)=1then (a,a+b)=1or2
if(a,b)=1then (b,a+b)=1or2
if(a,b)=1then (ab,a+b)=1

2007-07-20 19:21:18 補充：
抱歉　我的聯立壞了＝　＝川
我重寫
1.
設(a,b)=1 then(a,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)
則
　d|a　=>　　d|a+(a+b)=2a+b　=>　d|2a+b　=>　d|(2a+b)+(-b)=2a
｛　　　　｛　　　　　　　　｛　　　　　｛　　　
　d|a+b　=>　d|a-(a+b)=-b　　 =>　d|-b　　=>　d|(2a+b)-(-b)=2a+2b


=> d| (2a,2a+2b) (用到第2個性質把2提出來) =>d| (a,a+b)≠1

由d| (a,a+b)≠1得知 假設是對的 所以 If (a,b)=1 then(a,a+b)=1 是錯的

2007-07-20 19:24:24 補充：
3.If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1
設(a,b)=1 then(ab,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)
則
　d|ab　 =>d|(a+b)×a-ab=a^2　=>d| a^2
｛　　｛　　　　　　　　　　　　　　=>d|(a^2,b^2)=1
　d|a+b　=>d|(a+b)×b-ab=b^2　=>d| b^2

由上証可知 d=1 和假設矛盾 故假設錯誤
If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1成立 得証

2007-07-28 12:53:15 補充：
這就是你不了解or的意思了
我是說or 又不是說end 所以沒錯

Answer 2

給孤單的人：您舉的例子與題幹不符，(a,b)=1

Answer 3

如果a|b且a|c則 a|bm±cn (m.n適任意整數)
這個稱為整數表現定理

第(1)(2)小題用這個証即可

(1)pf:

Let (a,a+b)=d
--> d│a , d│a+b
--> d│(-1)*a+(1)*(a+b) 也就是選m=-1, n=1
--> d│b

we have d│(a,b)=1
then d=1

Answer 4

第一位大大
推導到
if(a,b)=1then (a,a+b)=1or2

我舉個例子 假如 a=4 b=2 (a,a+b)=2 但是 (a,b)不等於1 這樣你推導的東西不就是錯的

2007-07-20 22:02:34 補充：
第二位大大

若要 (ab,a+b)≠1 a+b必須是 a或是b的倍數 這句話是錯的

如果 a=9 b=15
a+b=24 他不是 a 也不是 b 的倍數

2007-07-20 22:12:14 補充：
1. If (a,b)=1 then (a,a+b)=1 ??

假設 (a,a+b)=d d不等於1
則 a=dh
a+b=dk (h,k)=1

代入得到 b=d(k-h)

所以(a,b)=d 跟 題目 矛盾 所以假設錯誤

2. 同上

3. If (a,b)=1 then (ab,a+b)=1 ??

假設 (ab,a+b)=d d不等於1
則 ab=dx
a+b=dy (x,y)=1

a=dy-b

代入得到 dyb-b^2=dx
b^2=d(yb-x)
d|b^2 所以 d|b

b=dy-a

代入得到 dya-a^2=dx
a^2=d(ya-x)
d|a^2 所以 d|a

所以(a,b)=d 跟 題目 矛盾 所以假設錯誤