關於step function的問題

Question

請問 u(t-a)這個函數代表的意義是什麼?
另外,f(t)=0 t<3
f(t)=1 t>=3

換成step function 怎麼換,我ㄧ直搞不懂step function意思=.=

Answer 1

「劍影」版主您好：

　　只要把握 unit step function 的數學定義去想就好了，數學定義如下：

u(t) = 0 , t < 0

　 = 1 , t ≥ 0

　　您把函數圖形畫出來，就可以看出，在橫軸原點之前縱軸都是〝0〞，到橫軸原點那一點縱軸突然變〝1〞，然後就是一個射線往右方無限遠處射去。

　　這樣的圖形看起來好像是讓人踏了一步的階梯，所以名稱有「step」，而通常學理工的人都喜歡比較嚴謹且單純的數學式，所以原始的 step function 都被定義為縱軸為〝1〞那一點才有往右方的射線，所以又稱 unit step function，中文通譯為「單位步階函數」或「單位階梯函數」。

　　接下來再複習一下國中數學所學到的觀念，就是函數平移，一個任意函數為 ƒ(t)，則 ƒ( t - a ) 表示原函數往右平移 a 個單位，我們只需這麼簡單的觀念就好。

　　所以，u( t - a ) 是單位步階函數往右平移 a 個單位，即橫軸到〝a〞之前縱軸都為〝0〞，橫軸到〝a〞那一點縱軸突然為〝1〞，然後往右方有射線，數學式如下：

u( t - a ) = 0 , t < a

　　　 = 1 , t ≥ a

　　故：

ƒ(t) = 0 , t < 3

　 = 1 , t ≥ 3

　　您應該可以很清楚的看出，此函數在橫軸〝3〞之前縱軸為〝0〞，橫軸到〝3〞那一點縱軸突然變為〝1〞，然後有往右方的射線，所以就可寫為：

ƒ(t) = u( t - 3 )

　　其實很多數學式是定義出，然後拿來描述某些情況，最大的目的是讓數學式或方程式看起來〝簡潔〞，其實也是數學家偷懶不想寫太多而想出來的。

　　像 u( t - 3 ) 就可以很簡潔的表示一個函數圖形，不用額外像：

ƒ(t) = 0 , t < 3

　 = 1 , t ≥ 3

　　這樣寫兩行，才能表示一個函數圖形，可以用單位步階函數來表示，不是更輕鬆了嗎？

　　希望以上回答能幫助您。