請幫幫微積分極限一題~

Question

請問~

lim(x->0)(sinx)^(cotx)=?

我想了好久都想不出來

我猜應該不能用羅必達，是用夾擊定理吧~可是我不知怎麼算

請幫幫忙

Answer 1

lim(x->0+)絕對值(sinx)^(cotx)=0
lim(x->0-)絕對值(sinx)^(cotx)=無限大
lim(x->0)絕對值(sinx)^(cotx)=不存在
lim(x->0)(sinx)^(cotx)=不存在

Answer 2

lnsin0是負的無限大嗎?我一直以為是正的無限大

2007-06-06 19:26:48 補充：
那請問那一個是正確的???

2007-06-08 09:39:10 補充：
謝謝你們的問答~

Answer 3

為了方便, 考慮 x -> 0+ (也就是 x 是正的).
則, 直覺上, 答案是 0^(infinity) = 0.
您也可如下證:
取 ln, 然後取 e,
也就是 LIM e ^ {ln [(sinx)^(cotx)] }
= e ^ { LIM [cotx (ln sinx) ] }
= e ^ {(infinity) (- infinity) }
= 0

2007-06-05 11:10:45 補充：
LIM f^g 是不定型的話, 只有三種: 0^0, (infinity)^0, 及 1^(infinity).

不是不定型的, 像 0^(infinity), 1^0, (infinity)^1, 等等, 都用直觀可知答案,
譬如說 0^(infinity) --> 0, 因為當 f 很接近 0 時, 次方很大很大, 像 (0.001)^(1000000),
就是 0.001 自己乘自己一直乘下去, 顯然是會越來越靠近 0.

2007-06-05 11:15:02 補充：
在"意見"中說的三個不定型, 背不下來也沒關係, 因為就算不是不定型, 也可用
不定型的方法 (就是取 ln, 再取 e) 來做 (做的當中, 就不會用到羅必達;
只有以上說的三個不定型, 在取 ln, 再取 e 之後, 才會用到羅必達法則)

2007-06-06 20:22:21 補充：
柯南是對的.
我為了方便, 只有做 x -> 0+ 的部份.
x -> 0- 時, 也是用直觀, 可以發現極限不存在.
所以雙邊極限不存在.