比較√ab與2分之(a＋b)與( a ＋b )分之(2ab)

Question

a.b屬於R^+，則√ab 與 2分之( a＋b ) 與 ( a ＋ b )分之(2ab)的大小為何?請問該怎麼去做比較先謝謝大家盡量詳細一點我比了好久

我用相減的但是只比的出來2分之( a＋b ) 與 ( a ＋ b )分之(2ab)的大小
因為2分之( a＋b ) 減 ( a ＋ b )分之(2ab)大於0
所以2分之( a＋b ) ＞ ( a ＋ b )分之(2ab)
但是√ab 就不知道怎ㄇ去做比較了 ?

Answer 1

前兩個是很簡單的不等式
算數平均大於等於幾何平均

　ａ＋ｂ
＿＿＿＿＿＞√ａｂ
　　２　　
　　ａ＋ｂ　　　２ａｂ
又＿＿＿＿＿＞＿＿＿＿＿
　　　２　　　　ａ＋ｂ

所以比較這兩個小的



　　　　　　２ａｂ
　√ａｂ　＿＿＿＿＿
　　　　　　ａ＋ｂ

兩邊平方
　　　　　４ａ^２ｂ^２
　　ａｂ　＿＿＿＿＿＿
　　　　　（ａ＋ｂ）^２

分母乘過去　ａｂ消去一個
可以看的出來
左式大於右式（可以湊出完全平方的式子）
所以

　ａ＋ｂ　　　２ａｂ
＿＿＿＿＿＞＿＿＿＿＿＞√ａｂ　
　　２　　　　ａ＋ｂ

大於等於打不出來　我都用＞代替喔
等號成立條件就是ａ＝ｂ

Answer 2

To：凡是靈~~~~
也許跟“系統爛”……有一些關係吧？
但是，當“等級”到達「實習生」（以上），或許會有更多可以應用的資源喔！
希望你看到這個「意見」。
你的幾個回答，劍客大略看過；由答題內容看起來，你的專長與所學，只能說：「不容小覷」！
但是，怎麼都不使用標點符號呢？

Answer 3

tangent錯在
√ab與2ab/(a+b)的大小

當a=b時，兩式相等
但當a不等於b
√ab必大於等於2ab/(a+b)

由算幾不等式知道
(a+b)/2＞=√ab
(a+b)＞=2√ab
(a+b)²＞=4ab

因此4a²b²/(a+b)²＜=ab
2ab/(a+b)＜=√ab

另外，要跟凡是靈說：
貼圖及連結等功能必須到實習生以上才具備，回答之前請先看知識家服務說明

Answer 4

因為ａ、ｂ屬於Ｒ+
所以（ａ－ｂ）2＞０
展開：ａ2－２ａｂ＋ｂ2＞０
兩邊同時加４ａｂ：ａ2＋２ａｂ＋ｂ2＞４ａｂ
（ａ＋ｂ）2＞４ａｂ
兩邊開根號：（ａ＋ｂ）＞２√ａｂ
所以（ａ＋ｂ）／２＞√ａｂ﹒﹒﹒（１）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
又ａ2＋２ａｂ＋ｂ2＞４ａｂ
（ａ＋ｂ）2＞４ａｂ
兩邊同時除以２（ａ＋ｂ）：（ａ＋ｂ）／２＞（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）﹒﹒﹒（２）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
［（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）］2－［√ａｂ］2
＝４ａ2ｂ2／（ａ＋ｂ）2－ａｂ
＝－ａｂ［１－４ａｂ／（ａ＋ｂ）2］
＝－ａｂ［（ａ＋ｂ）2－４ａｂ］／（ａ＋ｂ）2
＝－ａｂ（ａ2＋２ａｂ＋ｂ2－４ａｂ）／（ａ＋ｂ）2
＝－ａｂ（ａ2－２ａｂ＋ｂ2）／（ａ＋ｂ）2
＝－ａｂ（ａ－ｂ）2／（ａ＋ｂ）2
＝－ａｂ［（ａ－ｂ）／（ａ＋ｂ）］2
＜０
所以［（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）］2－［√ａｂ］2＜０
［（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）］2＜［√ａｂ］2
（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）＜√ａｂ﹒﹒﹒（３）
由（１）（２）（３）：
（ａ＋ｂ）／２＞√ａｂ＞（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）
請將“＞”的符號改成大於等於，“＜”的符號改成小於等於
ｔａｎｇｅｎｔ我不知道您哪裡寫錯了，但是您的答案錯了唷！
我用ａ＝２，ｂ＝８帶進去驗證：
（ａ＋ｂ）／２＝５
√ａｂ＝４
（２ａｂ）／（ａ＋ｂ）＝３２／１０
所以您的關係式是錯的

Answer 5

正確答案是a＋b∕2≥√ab≥2ab/a＋b，當a＝b時三者相等
此題三者皆是數字的變形，目的在讓您活用（a＋b）平方＝a平方＋b平方＋2ab此重要公式，以幾何學來解最快，當然要先配合代數，因為要先把三者轉變成可比較的數字以便比較，解題如下
一a＋b/2≥√ab先轉成可比的數字
兩邊先平方（因為ab皆為R＋，沒有複數i的困擾，所以也可用幾何圖形來解）得到（a＋b）平方/4與ab，再各乘四得到（a＋b）平方與4ab，（a＋b）平方＝a平方＋b平方＋2ab，減4ab等於a平方＋b平方－2ab≥0,當a＝b時,兩者相等，圖解
假設a＞b，所以長邊為a短邊為b，最外（框）最大正方形面積為（a＋b）平方，框內大正方形面積為a平方，小正方形面積為b平方，剩餘兩個長方形面積皆為ab，且由圖形知a平方＋b平方－2ab≥0，當a＝b時,兩者相等，圖解如下

2007-04-26 17:04:36 補充：
所以當a＝b時，a平方＋b平方－2ab＝0（因為四個框內正方形皆相等），更證明a平方＋b平方－2ab≥0，所以a＋b/2≥√ab

2007-04-26 17:07:18 補充：
圖解無法在此顯示或我不知道如何顯示
我在寄信給您

2007-04-26 17:17:56 補充：
若要圖解請留下您的e-mail
因為無法寄給您

2007-04-26 17:23:16 補充：
此系統很爛
只能輸入純文字 無法顯示圖形 連寄信都沒辦法
害我無法圖解

2007-05-06 01:11:33 補充：
二 √ab≥2ab∕a＋b
因為a b為R+ 兩者皆平方得 ab與4a平方b平方/（a+b）平方
兩者同乘（a+b）平方得 a三方b+ab三方+2a平方b平方與4a平方b平方
a三方b+ab三方+2a平方b平方減4a平方b平方得a三方b+ab三方-2a平方b平方即是ab（a平方＋b平方－2ab）≥0 所以√ab≥2ab∕a＋b

a=b時，a平方＋b平方－2ab＝0（因為四個框內正方形皆相等）