[工數]用散度定理解向量場F在空間D的通量，要怎定積分邊界?

Question

向量場 F = (2xz)i + (5y^2)j + (-z^2)k
空間 D 是由下列 5 個曲面構成
x = 0
z = 0
z = y
z = 4 - y
z = 2 - 0.5x^2
利用散度定理可以求得對 (10y)dV 做體積分
其中 dV = dx dy dz
但是我不知道要怎麼判斷 x y z 的積分邊界
畢竟它不像其他題目可以簡單地用圓柱坐標或球坐標來代換
我找了幾本參考書卻沒有看到類似的積分空間
(指由3到4個或更多的曲面或平面所構成的空間)
所以來此懇請版上高手提供一點建議 謝謝^^

ps本題出自DENNIS G. ZILL和MICHAEL R. CULLEN合著的工數(2版)第9章9.16的習題第11題

Answer 1

空間 D 的附圖：http://hk.geocities.com/exaomicron/image30.gif

積此體積分可有不同的積分順序：

(1) http://hk.geocities.com/exaomicron/image32.gif

　　　　　　　 　 　　 ┌───
　　　　 2 　　4 - z　　┘4 - 2 z
　　　　∫　 　 ∫　　　　∫　　　10 y　　dx dy dz
　　　　 0　　　z 　　　 　0

(2) http://hk.geocities.com/exaomicron/image33.gif

　 　 　 　 　 ┌───
　　　　 2 　 ┘4 - 2 z　　4 - z
　　　　∫　　　∫　　　∫　　　10 y　　dy dx dz
　　　　 0 　　　 0　　 　 z

(3) http://hk.geocities.com/exaomicron/image34.gif

　　　　 2　　 2 - x² / 2　　 4 - z
　　　　∫　　　∫　　　　∫　　　10 y　　dy dz dx
　　　　 0　 　 　0　　 　 　z

觀察後，我們知道 (3) 的積分順序較好計算，所以我們採用 (3) 的積分順序。

　 　 2　　 2 - x² / 2　　 4 - z
　　 ∫　　　∫　　　　∫　　　10 y　　dy dz dx
　 　 0　 　 　0　　 　 　z

　　 2　　 2 - x² / 2　　 　 │4 - z
= 　 ∫　　　∫　　　5 y² │　　　　dz dx
　　 0　 　 　0　　　　　│z

　　 2　　 2 - x² / 2
= 　 ∫　　　∫　　　5 (　( 4 - z )²　-　z²　)　　dz dx
　　 0　 　 　0

　　 2　　 2 - x² / 2
= 　 ∫　　　∫　　　5 ( 16 - 8 z )　　dz dx
　　 0　 　 　0

　　 2　　　　　　 　 │2 - x² / 2
= 　 ∫　5 ( 16 z - 4 z² )│　　　　　dx
　　 0　　　　　　 　 │0

　　 2
= 　 ∫　5 (　16 ( 2 - x² / 2 )　-　4 ( 2 - x² / 2 )²　)　-　0　dx
　　 0

　　 2
= 　 ∫　5 (　32　-　8 x²　-　4 (　4　-　2 x²　＋　x^4 / 4　)　)　dx
　　 0

　　 2
= 　 ∫　5 (　32　-　8 x²　-　16　＋　8 x²　-　x^4　)　dx
　　 0

　　 2
= 　 ∫　5 (　16　-　x^4　)　dx
　　 0

　　　　　　　　│2
= 　 80 x　-　x^5 │
　　　　　　　　│0

= 　 ( 160　-　32 )　-　0

= 　 128
　　

2007-03-28 11:04:14 補充：
部份圖是用數學軟體 Maple 畫的，一些是用繪圖軟體 PhotoImpact
希望對你有幫助　 ^^