數學方程式解一問...

Question

x^2-6x-16的絕對值=4x+k...有兩相異實根!
求k的範圍?!
thx...

Answer 1

請問克勞隸
若取k=16
(1)x≧8或x≦-2時
x^2-6x-16=4x+16
=>x=5±√57...有二相異解
(2)-2≦x≦8
-(x^2-6x-16)=4x+16
=>x=0或2.....有二相異解

由(1)(2),共4個相異解，明顯不合

2007-03-23 22:42:03 補充：
利用圖形解
先畫y=|x^2-6x-16|的圖形，大致如下
(1)當x≧8或x≦-2時
取y=x^2-6x-16=(x-3)^-25這部分
(2)當-2≦x≦8時
取y=-(x^2-6x-16)=-(x-3)^2+25這部分

直線L：y=4x+k要和y=|x^2-6x-16|交於相異兩點
L過(-2,0)時，k=8
L和y=-(x^2-6x-16)相切時，-x^2+6x+16=4x+k
=>x^2-2x+k-16=0有重根
=>D=(-2)^2-4(k-16)=0=>k=17
當k＜8或k＞17時，兩圖形交於相異兩點
即方程式有兩個相異實數根

2007-03-23 22:42:45 補充：
x≦是"小於等於"的符號

2007-03-23 23:04:56 補充：
更正內容：
L過(8,0)時，k=-32

L和y=x^2-6x-16相切時，k=-41

更正最後答案：
當-41＜k＜8或k＞17時，方程式有兩個相異實數根

Answer 2

聯集?
不懂
不是交集嗎....

Answer 3

|x2-6x-16|=4x＋k，
則x2-6x-16=4x＋k → x2-10x-16-k=0
或 x2-6x-16=-(4x＋k) → x2-2x-16＋k=0

(一) x2-10x-16-k=0
有兩相異實根，則判別式大於0，
(-10)2-4*1*(-16-k)＞0
100＋64＋4k＞0
k＞－41

(二) x2-2x-16＋k=0
有兩相異實根，則判別式大於0，
(-2)2-4*1*(-16＋k)＞0
4＋64-4k＞0
k＜17

k＜17與k＞－41取聯集(是聯集，不是交集)得
－41＜k＜17

2007-03-23 22:42:30 補充：
Larry學我更正答案，其實－41 我發表後不多久就發現我把題目想得太簡單了，於是重新寫答案，
不過來不及寫完整，就因為有事要忙而擱下了，沒想到chuchu趁此空隙反駁我，卻不反駁別人，大概是認為我有希望解出來吧？真感謝您的欣賞。
本題先前回答內容幾乎全錯，在下重寫，希望會是對的。

2007-03-23 22:55:50 補充：
|x^2－6x－16|=4x＋k，
則x^2－6x－16=4x＋k → x^2－10x－16－k=0
或 x^2－6x－16=－(4x＋k) → x^2－2x－16＋k=0

x^2－10x－16－k=0產生兩個根，
x^2－2x－16＋k=0也產生兩個根，
故|x^2－6x－16|=4x＋k原先應有4個合法的根，
但是某些情況會讓它減根。

2007-03-23 23:25:55 補充：
因為一元二次方程式虛根成對，
考慮兩個一元二次程式的4個根的實虛：
(1)4實(重根算做2根)
(2)3實1虛(不可能)
(3)2實2虛(可能，而且符合題目要求)
(4)1實3虛(不可能)
(5)4虛(可能，但不符合題目要求)

所以當它只有2相異實根時，只可能是4實或2實2虛：
(一)
x^2－10x－16－k=0重根，且x^2－2x－16＋k=0也重根，
x^2－10x－16－k=0和x^2－2x－16＋k=0的判別式都是0，
(-10)^2－4*1*(－16－k)=0
k=－41
(-2)^2－4*1*(－16＋k)=0
k=17
k= －41且k=17，矛盾。

2007-03-23 23:28:14 補充：
(二)
x^2－10x－16－k=0重根，且x^2－2x－16＋k=0有兩相異實根，
且前者之重根與後者其中一根相同
(-10)^2－4*1*(－16－k)=0
k=－41
(-2)^2－4*1*(－16＋k)＞0
k＜17
取交集，k=－41，但實際代進去算，前者之重根5不能滿足後者，
所以依然不合。

(三)
x^2－2x－16＋k=0重根，且x^2－10x－16－k=0有兩相異實根，
且前者之重根與後者其中一根相同
(-2)^2－4*1*(－16＋k)=0
k=17
(-10)^2－4*1*(－16－k)＞0
k＞－41
取交集，k=17，但實際代進去算，前者之重根1不能滿足後者，
所以依然不合。

2007-03-23 23:45:23 補充：
(四)
x^2－10x－16－k=0與x^2－2x－16＋k=0是相同的方程式，
所以前者的2相異實根即為後者的2相異實根，
但是兩者二次項與一次項的比卻不相同(1≠5)，
所以這可能性也被排除掉。

(五)
x^2－10x－16－k=0有兩相異實根，
且x^2－2x－16＋k=0重根或有2相異虛根
(-10)^2－4*1*(－16－k)＞0
k＞－41
(-2)^2－4*1*(－16＋k)≦0
k≧17
取交集，k≧17

2007-03-23 23:53:50 補充：
又是一個bug，(五)重寫好了
(五)
x^2－10x－16－k=0有兩相異實根，
且x^2－2x－16＋k=0重根或有2相異虛根
(-10)^2－4*1*(－16－k)＞0
k＞－41
(-2)^2－4*1*(－16＋k)小於等於0
k大於等於17
取交集，k大於等於17

(六)
x^2－2x－16＋k=0有兩相異實根，
且x^2－10x－16－k=0重根或有2相異虛根
(-2)^2－4*1*(－16＋k)＞0
k＜17
(-10)^2－4*1*(－16－k)小於等於0
k小於等於－41
取交集，k小於等於－41

(五)和(六)取聯集，最後答案是
k大於等於17或k小於等於－41

2007-03-24 00:09:32 補充：
是的，在你發表意見之前，我就知道|x^2-6x-16|=4x+k最多可以有4個實根(而非2實根)，所以我原先的算法是錯的，我知道但來不及修改，但還是感謝你的提醒。
不過，呃！我暱稱是克勞棣ㄉㄧˋ，明朝第三任皇帝明成祖朱棣的棣。

Answer 4

x^2-6x-16的絕對值=4x+k
則x^2-6x-16=4x+k---------(1)
x^2-6x-16=-(4x+k)------(2)
展開(1)(2)可得
x^2-6x-16=4x+k------(3)
x^2-6x-16=-4x-k------(4)
整理(3)可得x^2-10x-16=k-----(5)
整理(4)可得x^2-2x-16=-k------(6)

解(5)(6)聯立方程式可得x^2-10x-16=-x^2+2x+16
則2x^2-12x-32=0，所以x^2-6x-16=0
因此(x-8)(x+2)=0
所以x=8或x=-2

x=8，帶入(5)或(6)可得k=-32
x=-2，帶入(5)或(6)可得k=8